Demi-groupe de Munn
En mathématiques, et notamment en algèbre, le demi-groupe de Munn est le demi-groupe inversif des isomorphismes entre les idéaux principaux d'un demi-treillis. Ce demi-groupe est nommé d'après l'algébriste britannique Walter D. Munn.
Construction
modifierSoit un demi-treillis. Pour , on note
- .
C'est un idéal principal de . Pour , on note l'ensemble des isomorphismes de sur .
Le demi-groupe de Munn du demi-treillis E est par définition l'ensemble , muni de l'opération de composition des applications.
On observe que est un sous-demi-groupe du demi-groupe inversif symétrique de toutes les bijections partielles de . Les idempotents du demi-groupe de Munn sont les applications identités partielles à domaine .
Théorème
modifier- Pour tout demi-treillis , le demi-treillis des idempotents du demi-groupe de Munn est isomorphe à .
Exemple
modifierSoit l'ensemble des entiers naturel. Alors est un demi-treillis pour l'ordre usuel ( ). Les idéaux principaux de sont les parties finies pour tout . Par conséquent, deux idéaux principaux et sont isomorphes si et seulement si . L'ensemble des isomorphismes est réduit à l'application identité de En sur lui-même, et si . On a donc et comme tous ces éléments sont idempotents, est isomorphe à .
Notes et références
modifier- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Munn semigroup » (voir la liste des auteurs).
- (en) John M. Howie, Fundamentals of semigroup theory, Oxford, Clarandon Press, , 351 p. (ISBN 0-19-851194-9), chap. 5.4 (« The Munn semigroup »), p. 162-165.