Déterminant de Fredholm

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, le déterminant de Fredholm est une généralisation de la notion de déterminant à certains opérateurs à noyaux (continus) dans des espaces de Banach. Aux notations et langage près, l'idée a été introduite par Fredholm dans son étude de certaines équations intégrales[1]. Elle a ensuite était généralisée à d'autres opérateurs, notamment aux opérateurs nucléaires (en) [2].

Soit un segment de . Dans la suite, désigne l'espace des fonctions continues sur ou l'espace des fonctions p-intégrables sur .

Soit une fonction continue. On considère l'opérateur de noyau  :

Heuristique

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On se place sur   et s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue    

On peut essayer de discrétiser cette équation :

  • en l'évaluant sur une famille de points   équirépartis dans l'intervalle   :  .
  • en approchant l'intégrale par une somme de Riemann :  .

On obtient alors, pour chaque  , un système linéaire   d'équations  

où les inconnues sont les  . Heuristiquement on peut espérer comprendre   en analysant le comportement de   dans la limite  .

Or on montre[3] que le déterminant   du système linéaire homogène associé à   vaut :

 

  est la somme des mineurs principaux d'ordre   de  . Comme de plus

 

on est donc amené à considérer la série "limite des   " :  

C'est la définition de Fredholm du déterminant de l'opérateur  . Bien que Fredholm, dans son article de 1903, ne précise pas vraiment comment il en est venu à cette définition, on peut supposer que c'est essentiellement cette heuristique qui l'y a conduit[4].

Déterminant de Fredholm

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La série entière   a un rayon de convergence infini. Cela peut se démontrer en utilisant l'inégalité d'Hadamard (en) pour majorer le déterminant.

Pour tout  , on appelle déterminant de Fredholm de l'opérateur   la quantité  La fonction   est alors analytique sur  . En particulier, ses zéros sont isolés et de multiplicités finies.

Cas des opérateurs de rang fini

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Dans cette section, on suppose que  est de rang fini.

Lien avec les valeurs propres

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Soient   les valeurs propres de   comptées avec multiplicités. On a alors la formule du produit[5] :

 

Lien avec la trace

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Comme   et ses puissances sont de rang fini, ce sont des opérateurs à trace.

Soit  . Pour   assez petit, on a[5] :

 

Déterminant et inversibilité

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Théorème (Fredholm)[1] — Soit  . Les conditions suivantes sont équivalentes :

  1. L'opérateur   est inversible;
  2.  .

De plus, lorsque  , on a :

  1.  ;
  2.  ;

  est la multiplicité de  comme zéro de  .

Remarques :

  • La situation est donc tout à fait analogue à ce qui se passe en dimension finie;
  • Pour tout  , l'indice de l'opérateur   est donc nul.

Notes et références

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  1. a et b Ivar Fredholm, « Sur une classe d’équations fonctionnelles », Acta Mathematica, vol. 27,‎ , p. 365–390 (ISSN 0001-5962 et 1871-2509, DOI 10.1007/BF02421317, lire en ligne, consulté le )
  2. Alexander Grothendieck, « La théorie de Fredholm », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 79,‎ , p. 319–384 (ISSN 0037-9484 et 2102-622X, DOI 10.24033/bsmf.1476, lire en ligne, consulté le )
  3. (en) Francesco Giacomo Tricomi (1897-1978), Integral equations, New York, Dover Publications, , 238 p. (ISBN 0-486-64828-1 et 9780486648286, OCLC 11469824, lire en ligne), p. 66-68
  4. Dieudonné, Jean, 1906-1992., History of functional analysis, North-Holland Pub. Co., (ISBN 0-444-86148-3 et 9780444861481, OCLC 7206750, lire en ligne), p. 99
  5. a et b (en) Israel Gohlberg, Nahum Krupnik et Seymour Goldberg, Traces and determinants of linear operators, Birkhäuser Verlag, (ISBN 3-7643-6177-8 et 9783764361778, OCLC 43607291, lire en ligne), chap. 1, p. 7-10