Crible de Sundaram

Le crible de Sundaram permet de lister les entiers naturels impairs composés grâce à des suites arithmétiques placées en colonnes. Son intérêt est qu'on peut en déduire, par passage au complémentaire, l'ensemble des nombres premiers.

S. P. Sundaram était un mathématicien indien originaire de la ville de Sathyamangalan dans l'état du Tamil Nadu. La méthode et le tableau qu'il publia en 1934 donnaient toutes les valeurs $n$ telles que $2n+1$ ne soit pas premier. Une méthode algorithmique de cette approche offre directement les valeurs des nombres premiers impairs.

Tableau de Sundaram

Le tableau de Sundaram est constitué comme un tableau où la colonne numéro $n$ a pour premier terme $(2n+1)^{2}$ et pour raison $2(2n+1)$. Chaque colonne commence donc par le carré d'un nombre impair, et tous les carrés de nombres impairs commencent une colonne.

Chaque colonne comprend tous les multiples impairs du nombre impair $(2n+1)$ dont le carré commence la colonne. En effet pour qu'un nombre soit dans cette colonne, il faut et il suffit qu'il soit de la forme: $(2n+1)(2n+1)+k*(4n+2)$, soit $(2n+1)(2n+2k+1)$ ce qui définit, en faisant varier k, tous les multiples impairs de $(2n+1)$.

Par construction, le tableau ne contient que des nombres impairs composés, et il les contient tous car tout nombre composé impair s'écrit $(2n+1)(2m+1)$ avec $n<m+1$, et figure au moins dans la colonne $n$.

Le tableau ci-dessous donne les premières lignes et colonnes construites par cette méthode :

9
15	25
21	35	49
27	45	63	81
33	55	77	99	121
39	65	91	117	143	169
45	75	105	135	165	195	225
51	85	119	153	187	221	255	289
57	95	133	171	209	247	285	323	361
63	105	147	189	231	273	315	357	399	441
69	115	161	207	253	299	345	391	437	483	529
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Pour savoir si un nombre impair est premier, il suffit de vérifier s'il est dans le tableau (auquel cas ce nombre n'est pas premier), ou s'il n'y est pas (auquel cas il est premier).

Algorithme

Animation de l'usage du crible de Sundaram pour les nombres premiers entre 3 et 200

L'algorithme du crible de Sundaram commence en listant tous les nombres de 1 à n dans un tableau puis d'éliminer tous ceux de la forme $i+j+2ij$, tels que $i+j+2ij<n$. Les nombres restants sont doublés puis incrémentés. La liste résultante présente alors tous les nombres premiers allant de 3 à $2n+1$.

Il a été vérifié par D. Abdullah et al en 2018 que l'algorithme du crible de Sundaram est plus lent que l'algorithme du crible d'Ératosthène.

Justification

Excepté 2, tous les nombres premiers sont impairs. On prend alors q, un nombre premier impair de la forme $q=2k+1$. Si $k$ vérifie la condition du crible ( soit $k=i+j+2ij$), alors

${\begin{aligned}q&=2(i+j+2ij)+1\\&=2i+2j+4ij+1\\&=(2i+1)(2j+1)\end{aligned}}$

Ainsi, $q$ n'est pas un nombre premier. Les nombres subsistants sont alors des nombres premiers.

Articles connexes

• Crible d'Ératosthène
• Crible d'Atkin
• Spirale d'Ulam