Covariance de Matérn

En statistique, la fonction de covariance de Matérn, nommée d'après Bertil Matérn, est une fonction de covariance utilisée dans l'analyse statistique des espaces métriques.

Définition

Entre deux points séparés d'une distance d, la covariance de Matérn s'écrit: $C_{\nu }(d)=\sigma ^{2}{\frac {2^{1-\nu }}{\Gamma (\nu )}}\left({\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}\right)^{\nu }K_{\nu }\left({\sqrt {2\nu }}{\frac {d}{\rho }}\right)$ avec Γ la fonction gamma, K_ν la fonction de Bessel modifiée de seconde espèce, ρ et ν des paramètres strictement positifs.

En prenant $\nu ={\frac {1}{2}}$, on retrouve la fonction de covariance exponentielle $C_{1/2}(d)=\sigma ^{2}{\rm {e}}^{-d/\rho }$.

En prenant $\nu \rightarrow \infty$, on retrouve la fonction de covariance gaussienne $C_{\infty }(d)=\sigma ^{2}{\rm {e}}^{-d^{2}/2\rho ^{2}}$.

Densité spectrale

Le spectre de puissance d'un process à covariance de Matérn sur $\mathbb {R} ^{n}$ est la transformée de Fourier (en dimension n) de la fonction de covariance de Matérn (par le théorème de Wiener-Khintchine), soit:

$S(f)=\sigma ^{2}{\frac {2^{n}\pi ^{n/2}\Gamma (\nu +{\frac {n}{2}})(2\nu )^{\nu }}{\Gamma (\nu )\rho ^{2\nu }}}\left({\frac {2\nu }{\rho ^{2}}}+4\pi ^{2}f^{2}\right)^{-\left(\nu +{\frac {n}{2}}\right)}.$