Courbe de Lamé

Les courbes de Lamé (ou superellipses) sont un groupe de courbes définies pour la première fois par le mathématicien français Gabriel Lamé en 1818. Elles sont définies par leur équation cartésienne :

Courbe de Lamé

Exemples de courbes de Lamé

$(n,a,b)=\left({\frac {1}{2}},1,1\right)$

$(n,a,b)=\left({\frac {3}{2}},1,1\right)$

$(n,a,b)=\left(4,1,1\right)$

     

 

$\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1.$

Similairement, elles sont définies par l'équation polaire (pour les points $(r,\theta )$ qui respectent l'équation) :

$r=\left(\left|{\frac {\cos(\theta )}{a}}\right|^{n}\!\!+\left|{\frac {\sin(\theta )}{b}}\right|^{n}\!\right)^{-1/n}\!,$

Propriétés

Les courbes de Lamé peuvent aussi être définies par l'équation paramétrique :

${\begin{cases}x\left(\theta \right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}\theta \\y\left(\theta \right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}\theta \end{cases}}\qquad 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}}.$

L'aire de la surface délimitée par une courbe de Lamé vaut

${\frac {4^{\left(1-{\frac {1}{n}}\right)}ab{\sqrt {\pi }}\,\Gamma (1+{\frac {1}{n}})}{\Gamma ({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{n}})}},$

où Γ est la fonction Gamma.

Articles connexes

• Fonction trigonométrique généralisée
• Astroïde
• Superœuf
• Squircle

Liens externes

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Den Store Danske Encyklopædi
  • Store norske leksikon