Contiguïté (probabilités)
La contiguïté est une notion en probabilités introduite par Lucien Le Cam en 1960[1] généralisant l'absolue continuité à des suites de mesures de probabilités.
Définition modifier
Soit une suite d'espaces mesurables. Soient et deux suites de mesures de probabilités sur .
La suite est dite contiguë par rapport à la suite si pour toute séquence d'événements , . On note alors [2].
Si on a à la fois et , les suites et sont dites mutuellement contiguës et l'on note .
Lien avec l'absolue continuité modifier
La contiguïté peut être vue comme une généralisation de l'absolue continuité aux suites de mesures de probabilité. Si dans la définition précédente les suites sont constantes, , et , on obtient que, si alors , c'est-à-dire que est absolument continue par rapport à .
La contiguïté assure l'absolue continuité des limites. Si deux suites de mesures de probabilité et convergent en distribution vers deux mesures et , et que la suite est contigüe par rapport à , alors est absolument continue par rapport à .
Attention toutefois à ne pas confondre contigüité entre deux suites avec l'absolue continuité entre les termes de ces suites. Il existe en effet des suites et vérifiant pour tout , (le symbole « » désignant l'absolue continuité) sans qu'on ait . On peut par exemple prendre constamment égale à la mesure de probabilité définie par une loi normale centrée réduite et égale à la mesure de probabilité d'une loi normale d'espérance et de variance 1.
Autres définitions modifier
Les deux définitions ci-dessous de la contiguïté sont équivalentes à celles données précédemment[3].
Considérons comme plus haut une suite d'espaces mesurables et deux suites de mesures de probabilités et sur .
- La suite est contiguë par rapport à si, pour toute suite de variables aléatoires , . En d'autres termes, si tend vers 0 en probabilité sous la suite de mesures , alors tend aussi vers 0 sous la suite de mesures .
- La suite est contiguë par rapport à si .
Premier lemme de Le Cam modifier
Un résultat connu sous le nom de « premier lemme de Le Cam » permet d'établir d'autres caractérisations de la contigüité[4].
Théorème — Soient et deux suites de mesures de probabilité sur une suite d'espaces mesurables . Les propositions suivantes sont équivalentes:
|
Dans ce résultat, la notation (respectivement ) désigne la dérivée de Radon-Nikodym de par rapport à (respectivement de par rapport à ). En pratique cela se ramène souvent au rapport de la densité de probabilité associée à sur celle associée à (respectivement celle associée à sur celle associée à ), lorsque ces densités existent.
Les convergences en distribution de et de dans le résultat ci-dessus peuvent être remplacées par les convergences en distribution de sous-suites de et de sans perte de généralité.
Voir aussi modifier
Références modifier
- Lucien Le Cam, « Locally asymptotically normal families of distributions », University of California Publications in Statistics, vol. 3, , p. 37–98
- G. K. Eagleson et Jean Mémin, « Sur la contiguïté de deux suites de mesures : généralisation d'un théorème de Kabanov-Liptser-Shiryayev », Séminaire de probabilités de Strasbourg, vol. 16, , p. 319–337 (lire en ligne, consulté le )
- (en) David Pollard, « A very short course on Le Cam theory : Contiguity », sur www.stat.yale.edu/~pollard/, (consulté le )
- A. W. van der Vaart, Asymptotic Statistics, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-511-80225-6, 978-0-521-49603-2 et 978-0-521-78450-4, lire en ligne)