Constante de Backhouse

La constante de Backhouse est une constante mathématique portant le nom du mathématicien Nigel Backhouse. Sa valeur est d'environ 1,456 074 948.

Elle est définie via la série entière dont les coefficients sont les nombres premiers croissants :

$P(x)=1+\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}x^{k}=1+2x+3x^{2}+5x^{3}+7x^{4}+\cdots$

et son inverse multiplicatif :

$Q(x)={\frac {1}{P(x)}}=\sum _{k=0}^{\infty }q_{k}x^{k}.$

Alors:

$\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {q_{k+1}}{q_{k}}}\right\vert =1,45607\ldots$.

L'existence de la limite a été conjecturée par Backhouse, et prouvée par Philippe Flajolet.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Backhouse's constant » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) Eric W. Weisstein, « Constante de Backhouse », sur MathWorld
• suite A030018 de l'OEIS, coefficients de $Q(x)$.
• suite A074269 de l'OEIS, coefficients du développement en fraction continue de la constante de Backhouse
• suite A088751 de l'OEIS, suite des décimales de l'inverse de la constante de Backhouse