Conjecture de Zimmer

En mathématiques, la conjecture de Zimmer est une conjecture énoncée par Robert Zimmer en 1983, et démontrée depuis. Elle affirme que certaines symétries ne peuvent exister en petites dimensions. Elle peut être considérée comme une version « non linéaire » du théorème de super-rigidité (en) de Gregori Margulis.

Énoncé

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Le programme de Zimmer[1] est une collection de conjectures selon lesquelles les groupes suffisamment grands n’agissent que trivialement sur des variétés compactes de dimension relativement petite. La conjecture de Zimmer en fait partie. De manière informelle, la conjecture décrit les « circonstances dans lesquelles les espaces géométriques peuvent présenter certains types de symétries »[2]. La conjecture dit qu'il peut exister des symétries (spécifiquement des réseaux ) en dimension élevée qui ne peuvent exister dans des dimensions inférieures.

Soit   un réseau dans un groupe de Lie rang  . Le théorème de la super-rigidité de Margulis dit que les représentations linéaires de   sont ou bien des restrictions de représentations de   ou bien ont une image finie. La conjecture de Zimmer est une conjecture analogue pour les actions de groupe sur les variétés. Elle affirme qu'une action de   sur une variété de dimension au plus   doit se factoriser sur un groupe fini. En particulier, elle dit pour les réseaux dans le groupe spécial linéaire   que les actions sur les variétés de dimension au plus   factorisent sur les actions d'un groupe fini.

L'énoncé formel du théorème qui la démontre est[3] :

Théorème — Soit   un sous-groupe d’indice fini dans   et soit   une représentation dans le groupe des difféomorphismes de classe   d’une variété compacte   de dimension  . Alors l’image   est finie.

Discussion

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Pour  , c'est-à-dire les actions de réseaux   sur le cercle, il est connu par des travaux de Witte, Ghys[4] et Burger-Monod que de telles actions ont un point fixe global . Pour les actions en dimension un, la conjecture a été résolue indépendamment par Burger et Mo- nod et par Ghys (par des techniques de nature plus ergodique). Un résultat antérieur de Witte Morris[5], montre que tout réseau non-cocompact dans  , pour  , n’agit que trivialement (image finie) sur la droite réelle   par homéomorphismes. Pour ce cas, un « point final »[3] a été mis par Deroin et Hurtado[6] en 2020[3].

Pour les réseaux cocompacts en   et aussi pour  , Brown, Fisher et Hurtado[7] ont prouvé la conjecture pour les actions  , pourvu que  .

Notes et références

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Bibliographie

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  • Aaron Brown, David Fisher et Sebastian Hurtado, « Zimmer’s conjecture for actions of   », Inventiones mathematicae, vol. 221,‎ , p. 1001–1060 (arXiv 1710.02735).
  • Kevin Hartnett, « A Proof About Where Symmetries Can’t Exist », Quanta Magazine,‎ (lire en ligne, consulté le ).
  • Michele Triestino, « La conjecture de Zimmer (d’après Brown, Fisher, et Hurtado) », La Gazette des mathématiciens, no 169,‎ (lire en ligne, consulté le ).
  • Serge Cantat, « Progrès récents concernant le programme de Zimmer », Séminaire Bourbaki,‎ 2017–2018, Exposé 1136.
  • David Fisher, « Recent progress in the Zimmer program », Arxiv,‎ (arXiv 1711.07089).
  • Étienne Ghys, « Sur les groupes engendrés par des difféomorphismes proches de l’identité », Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.), vol. 24, no 2,‎ , p. 137-178.
  • D. Witte Morris, Ratner’s theorems on unipotent flows, University of Chicago Press, coll. « Chicago Lectures in Mathematics », , xii+203.
  • Bertrand Deroin et Sebastian Hurtado, « Non left-orderability of lattices in higher rank semi-simple Lie groups », Arxiv,‎ (arXiv 2008.10687).
  • Robert J. Zimmer, « Actions of semisimple groups and discrete subgroups », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, vol. 1, 2, Berkeley, Amer. Math. Soc., , p. 1247-1258.