Conjecture de Nagata
En mathématiques, la conjecture de Nagata sur les courbes régit le degré minimal requis pour qu'une courbe algébrique plane passe par un ensemble de points à multiplicités prescrites. Elle a été proposée en 1959 par le mathématicien japonais Masayoshi Nagata.
Historique modifier
Nagata énonce sa conjecture par son travail sur le 14e problème de Hilbert, qui demande si l'anneau invariant d'une action de groupe linéaire sur l'anneau polynomial k[x1, ..., xn] sur un corps k est de type fini. Nagata publie la conjecture dans un article de 1959 dans l'American Journal of Mathematics, dans lequel il présente un contre-exemple au 14e problème de Hilbert.
Énoncé modifier
- Conjecture de Nagata. Soient p1, ..., pr des points de P2 et m1, ..., mr des entiers positifs. Alors pour r > 9 toute courbe C dans P2 passant par chacun des points pi de multiplicité mi doit satisfaire
La condition r > 9 est nécessaire.
Statut actuel modifier
Le seul cas où la conjecture est démontrée est celui où r est un carré parfait, prouvé par Nagata. Malgré l'intérêt porté à cet énoncé, les autres cas restent ouverts. Une formulation plus moderne de cette conjecture est souvent donnée en termes de constantes de Seshadri et a été généralisée à d'autres surfaces sous le nom de conjecture de Nagata-Biran.
Notes et références modifier
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nagata's conjecture on curves » (voir la liste des auteurs).
Bibliographie modifier
- Brian Harbourne, « On Nagata's conjecture », Journal of Algebra, vol. 236, no 2, , p. 692–702 (DOI 10.1006/jabr.2000.8515, MR 1813496, arXiv math/9909093)
- Masayoshi Nagata, « On the 14-th problem of Hilbert », American Journal of Mathematics, vol. 81, no 3, , p. 766–772 (DOI 10.2307/2372927, JSTOR 2372927, MR 0105409)
- Beata Strycharz-Szemberg et Tomasz Szemberg, « Remarks on the Nagata conjecture », Serdica Mathematical Journal, vol. 30, nos 2–3, , p. 405–430 (MR 2098342, hdl 10525/1746)
