Conjecture de Catalan

La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en par Preda Mihăilescu[1].

Ce théorème s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Les deux seules puissances d'entiers consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 23 et 32).

(Une puissance d'entier est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 64.)

En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation

xayb = 1

pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois[2].

HistoriqueModifier

Catalan a formulé sa conjecture en 1844[3], sa résolution s'est écoulée sur 150 ans.

Résolution de cas particuliersModifier

En 1850, Victor-Amédée Le Besgue montre que pour tout nombre premier  , l'équation   n'a pas de solution non triviale en nombres entiers[4]. En 1965 Ke Zhao montre que si   est un nombre premier alors les solutions triviales   et   sont les uniques solutions de l'équation  [3].

Résolution complèteModifier

Démontré en 1976, le théorème de Tijdeman affirme que l'équation de Catalan ne possède qu'un nombre fini de solutions. Preda Mihăilescu démontre la conjecture de Catalan en 2003, en se plaçant dans le cadre de la théorie des corps cyclotomiques et ce de manière inattendue car cette théorie est insuffisante pour résoudre d'autres équations diophantiennes comme notamment celle du grand théorème de Fermat[3].

Variante : la conjecture de PillaiModifier

La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.

La table suivante (voir suite A103953 de l'OEIS pour le plus petit k et suite A076427 de l'OEIS pour le nombre de solutions) donne les valeurs connues en 2005 pour n< 65

n entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers n entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers
1 8 33 16, 256
2 25 34
3 1, 125 35 1, 289, 1296
4 4, 32, 121 36 64, 1728
5 4, 27 37 27, 324, 14348907
6 38 1331
7 1, 9, 25, 121, 32761 39 25, 361, 961, 10609
8 1, 8, 97336 40 9, 81, 216, 2704
9 16, 27, 216, 64000 41 8, 128, 400
10 2187 42
11 16, 25, 3125, 3364 43 441
12 4, 2197 44 81, 100, 125
13 36, 243, 4900 45 4, 36, 484, 9216
14 46 243
15 1, 49, 1295029 47 81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16 9, 16, 128 48 1, 16, 121, 21904
17 8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904 49 32, 576, 274576
18 9, 225, 343 50
19 8, 81, 125, 324, 503284356 51 49, 625
20 16, 196 52 144
21 4, 100 53 676, 24336
22 27, 2187 54 27, 289
23 4, 9, 121, 2025 55 9, 729, 175561
24 1, 8, 25, 1000, 542939080312 56 8, 25, 169, 5776
25 100, 144 57 64, 343, 784
26 1, 42849, 6436343 58
27 9, 169, 216 59 841
28 4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044 60 4, 196, 2515396, 2535525316
29 196 61 64, 900
30 6859 62
31 1, 225 63 1, 81, 961, 183250369
32 4, 32, 49, 7744 64 36, 64, 225, 512

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Catalan's conjecture » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Catalan's problem, sur Prime Pages.
  2. (en) Jeanine Daems, A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture, sept. 2003.
  3. a b et c Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), V. Équations diophantiennes, chap. 3.4 (« Équation de Catalan »), p. 487.
  4. Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), V. Équations diophantiennes, chap. 3.1 (« Équation de Lebesgue »), p. 487.

Voir aussiModifier

Liens externesModifier

BibliographieModifier

(en) René Schoof (en), Catalan's Conjecture, Springer-Verlag, 2008

Articles connexesModifier