Complément d'un nœud
En théorie des nœuds, une branche des mathématiques, le complément d'un nœud est l'espace tridimensionnel qui l'entoure.
Définition modifier
Plus précisément, dans une 3-variété M, si K est un nœud et N un voisinage tubulaire de K alors le complément XK de K est le complémentaire de l'intérieur de N :
La variété M considérée est le plus souvent (parfois même implicitement) la 3-sphère et K est supposé non sauvage (en).
On définit de même le complément d'un entrelacs.
Propriétés modifier
- Avec la définition ci-dessus, N est un tore plein, XK est une 3-variété (compacte si M l'est), et leur frontière commune est un 2-tore.
- Le théorème de Gordon-Luecke (en)[1] assure que le complément d'un nœud est un invariant de nœuds complet : deux nœuds dont les compléments sont homéomorphes sont transformés l'un de l'autre par un homéomorphisme de S3. Si cet homéomorphisme préserve l'orientation, alors il est isotope à l'identité donc les deux nœuds sont équivalents.
- Le groupe fondamental de ce complément, appelé groupe du nœud (en), est donc aussi un invariant, mais non complet[2].
Notes et références modifier
(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Knot complement » (voir la liste des auteurs).
- (en) C. Gordon et J. Luecke, « Knots are determined by their Complements », J. Amer. Math. Soc., vol. 2, , p. 371-415 (lire en ligne)
- (en) Dale Rolfsen, Knots and Links [détail des éditions], p. 62
