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Cohomologie de Dolbeault

Définition du complexe de cochainesModifier

Pour un fibré vectoriel holomorphe   sur une variété complexe  , les formes différentielles sur   à valeurs dans   se définissent comme les sections du fibré  . Parmi ces formes différentielles se distinguent celles qui sont localement somme du produit extérieur de   formes linéaires et de   formes antilinéaires, dites de bidegré  . On note usuellement   l'espace vectoriel complexe des formes différentielles de bidegré   à valeurs dans  . Ces espaces sont en somme orthogonale et :

 .

Si   est le fibré en droites complexes trivial sur  , on s'empresse de l'oublier dans les notations. En particulier :

 .

Pour une forme différentielle   de bidegré (p,q), on note   la partie de degré   de   suivant la décomposition ci-dessus. Si   est une section holomorphe (locale) de  , alors   définit une forme différentielle de bidegré   à valeurs dans  , et on définit :

 .

Comme   est localement engendré par ses sections holomorphes,   se prolonge en un opérateur sur   à valeurs dans  , appelé opérateur de Cauchy-Riemann. L'expression ci-dessus ne reste valable que pour des sections holomorphes de  . On dispose donc de flèches :

 .

Comme  , on dispose d'un complexe de cochaines  , dont le  -ième groupe de cohomologie est appelé  -groupe de Dolbeault :

 .

Théorème de DolbeaultModifier

Le théorème de De Rham affirme que les complexes de De Rham et les complexes de cohomologie singulière d'une variété différentielle réelle sont homotopes. Le théorème de Dolbeault peut être vu comme un analogue complexe.

Théorème de Dolbeault — Le  -ième groupe de cohomologie de Dolbeault du fibré holomorphe   est canoniquement isomorphe au  -ième groupe de cohomologie de Čech du faisceau des  -formes holomorphes sur   à valeurs dans   :