Équation de Darcy-Weisbach

équation en mécanique des fluides

L'équation de Darcy-Weisbach, en hydraulique, permet de calculer la perte de charge (dissipation d'énergie) des conduites, en distinguant les pertes de charge linéaires de celles singulières (ponctuelles). C'est une équation très utilisée en adduction d'eau.

Présentation de l'équation

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L’équation de Darcy pour les pertes de charge est une amélioration de l’équation de Prony (pour l'effet des parois) et un développement de l'équation de Borda–Carnot (pour l'effet des changements de section). Elle a été développée par Henry Darcy, avant d'être modifiée par Julius Weisbach (scientifique allemand) en 1845, qui lui donna sa forme actuelle.

La perte de pression s'exprime par :

 

La perte de charge, obtenue en divisant l'expression précédente par ρ·g s'exprime par :

 

avec

Les Anglo-Saxons désignent ces deux définitions par les termes pressure drop et head loss.

 
Diagramme de Moody

Le coefficient de perte de charge, dépend du régime d’écoulement (laminaire ou turbulent) et des propriétés du fluide. En conditions isothermes, le nombre de Reynolds, qui est le rapport entre la puissance des forces d'inertie et la dissipation visqueuse, suffit à caractériser le régime d'écoulement.

Coefficients de perte de charge

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Il existe deux coefficients de perte de charge. L’un est le coefficient de perte de charge de Darcy, en référence à Henry Darcy, généralement utilisé par les Français. Il est noté par la lettre grecque lambda majuscule (Λ), ou   dans la suite de cet article . L'autre, généralement utilisé par les Anglo-Saxons, est le coefficient de perte de charge de Fanning, noté  , en référence à John Thomas Fanning, appelé aussi coefficient de frottement car il définit la contrainte de cisaillement   à la paroi (c'est-à-dire le frottement [Pa]) :

 

Ces deux coefficients expriment la même réalité physique et sont reliés par la relation suivante :

 

Détermination du coefficient de pertes linéaires

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Plusieurs méthodes permettent de définir le coefficient de perte de charge. L'une des plus connues recourt au diagramme de Moody, qui est un abaque permettant de déterminer le coefficient de perte de charge à partir du nombre de Reynolds et de la rugosité ( ) de la conduite. Il est également possible de calculer directement ce paramètre à partir de corrélations qui sont à la base du diagramme du Moody :

  • pour un écoulement laminaire dans un tube circulaire,  [1], on obtient l'expression de   par identification avec la loi de Hagen-Poiseuille :
  (soit pour le coefficient de Fanning : ). Il est possible d'adapter cette formule selon la forme du tuyau[2].
  • pour un écoulement turbulent dans un tube circulaire,  [1], il existe un grand nombre de corrélations, certaines simples mais imprécises, d’autres plus lourdes mais plus proches de la réalité.
Rugosité pour quelques types de matériaux[3]
Matériau Rugosité ( ) [mm]
fer forgé 0,12 - 0,3
conduite rivée 0,75 - 1-05
galvanisé 0,15 - 0,3
béton (petit tuyau) 0,15 - 0,25
béton rugueux 0,9 - 1,5
béton très rugueux 1,5 - 2,15
galerie rocheuse 90 - 300

Corrélation de Blasius[4], la plus simple, mais sa validité se réduit aux conduites parfaitement lisses (verre, PVC,...) :

 

Corrélation de Colebrook, également connue sous le nom d'équation de Colebrook-White :

 

Corrélation de Haaland[5] :

 

Corrélation de Swamee–Jain[6]:

 

Corrélation de Serghides[7]. La comparaison a été effectuée avec 70 points sur un large intervalle de valeurs tant pour le nombre de Reynolds que pour la rugosité avec une erreur absolue maximale de 0,0031 %.

 
 
 
 

Corrélation de Goudar-Sonnad[8],[9], montrant une erreur absolue maximale inférieure à 0,000 364 % sur plus de 10 000 points, pour des nombres de Reynolds   et des rugosités relatives  .

  ;   ;  
  ;  
  ;  

Deux possibilités différentes sont disponibles pour calculer δ

1)  
2)  
 
  • Stuart W. Churchill[10] a développé une formule pour les deux régimes, laminaire et turbulent :
 
 
 

En régime turbulent, certains auteurs précisent le champ d'application des formules précédentes, en fonction du produit  , caractérisant la rugosité des conduites[11] :

  • Pour   (conduite lisse) :
    • pour   : formule de Blasius indiquée ci-dessus ;
    • pour   : formule de Hermann :   ;
    • pour   : formule de Nikuradzé[11] :   ;
    • pour   : formule de Prandtl et v. Kármán[11] :  .
  • Pour   (conduite rugueuse) :
    • formule de Nikuradzé[11] :  
    • formule de Moody[11] :  
    • formule de Eck[11] :  
  • Pour   (conduite intermédiaire) :
    • formule de Prandlt et Colebrook indiquée ci-dessus (formule de Colebrook)
    • formule de Altschoul[11] :  
    • formule de Citrini[11] :  

Notes et références

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  1. a et b (en) Thomas Bradford Drew, Advances in chemical engineering, vol. 10, New York, Academic Press, Inc, , 336 p. (ISBN 0-12-008510-0), p. 137
  2. Facteur de frottement dans les tuyauteries
  3. Paraschivoiu 2003, p. 317.
  4. Paraschivoiu 2003, p. 321.
  5. (en) S. E. Haaland, « Simple and Explicit Formulas for the Friction Factor in Turbulent Flow », Journal of Fluids Engineering, vol. 105, no 1,‎ , p. 89-90 (DOI 10.1115/1.3240948)
  6. (en) P. K. Swamee et A. K. Jain, « Explicit equations for pipe-flow problems », Journal of the Hydraulics Division, vol. 102, no 5,‎ , p. 657-664
  7. (en) T. K. Serghides, « Estimate friction factor accurately », Chemical Engineering, vol. 91, no 5,‎ , p. 63-64 (ISSN 0009-2460)
  8. (en) C. T. Goudar et J. R. Sonnad, « Comparison of the iterative approximations of the Colebrook-White equation », Hydrocarbon Processing,‎ (lire en ligne)
  9. (en) C. T. Goudar et J. R. Sonnad, « Explicit Reformulation of the Colebrook−White Equation for Turbulent Flow Friction Factor Calculation », Industrial & Engineering Chemical Research, vol. 46,‎ , p. 2593-2600 (DOI 10.1021/ie0340241)
  10. Churchill, S. W., 1977, "Friction factor equations spans all fluid-flow ranges.", Chem. Eng., 91
  11. a b c d e f g et h Bohl et Elmendorf 2008, p. 164-165.

Voir aussi

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Bibliographie

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  : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

  • Ion Paraschivoiu, Michel Prud'homme, Luc Robillard et Patrick Vasseur, Mécanique des fluides, Montréal, Presses internationales Polytechnique, , 450 p. (ISBN 2-553-01135-0).  
  • (de) Willi Bohl et Wolfgang Elmendorf, Technische Strömungslehre, Wurtzbourg, Vogel Fachbuch, , 14e éd., 504 p. (ISBN 978-3-8343-3129-8)

Articles connexes

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Liens externes

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