Points cocycliques

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En géométrie, des points du plan sont dits cocycliques s'ils appartiennent à un même cercle.

Trois points non alignés du plan sont cocycliques. En effet, tout triangle possède un cercle circonscrit.

Quatre points cocycliquesModifier

Propriété — Soient  ,  ,   et   quatre points distincts du plan. Alors  ,  ,  ,   sont cocycliques ou alignés si et seulement si on a l'égalité d'angles orientés

 

La propriété précédente est un corollaire du théorème de l'angle inscrit.

Si   sont les affixes respectives de  , la condition précédente s'écrit aussi

 

D'où en utilisant le birapport, la condition équivalente :

  réel

Le théorème de Ptolémée donne une condition nécessaire et suffisante de cocyclicité de quatre points par leurs distances.

Théorème — Soient  ,  ,   et   quatre points distincts du plan. Ces points sont cocycliques si et seulement si l'une des quatre égalités suivantes est vérifiée :

 .

L'énoncé donne « quatre égalités » car ± doit se lire soit +, soit -.[1]

RéférenceModifier

  1. Donné sous cette forme par Marcel Berger, Géométrie vivante : ou l'échelle de Jacob, Cassini, coll. « Nouvelle bibliothèque mathématique », (ISBN 9782842250355), p. 154.