Clôture parfaite

En mathématiques et plus précisément dans la théorie des extensions de corps, la clôture parfaite d'un corps est grosso modo une extension algébrique parfaite minimale.

Définition

Soit $K$ un corps (commutatif). Une clôture parfaite $L$ de $K$ est une extension algébrique de $K$ telle que

• $L$ est un corps parfait et
• pour toute extension $F/K$ avec $F$ parfait, il existe un unique homomorphisme de $K$-extensions $L\to F$.

Notons que si une clôture parfaite existe, elle sera unique à isomorphisme unique près. Si $K$ est lui-même parfait, alors il est sa propre clôture parfaite.

Existence

Une clôture parfaite de $K$ existe et est unique à isomorphisme unique près.

En effet, on peut supposer $K$ non-parfait (donc de caractéristique $p>0$). Fixons une clôture algébrique $\Omega$ de $K$. Soit $L$ l'ensemble des éléments radiciels de $\Omega$ sur $K$. On sait que c'est une extension algébrique radicielle de $K$. Montrons que c'est une clôture parfaite.

• D'abord $L$ est parfait : tout élément $x$ de $L$ est une puissance $y^{p}$ avec $y\in \Omega$. Il suit que $y$ est radiciel sur $K$ puisque $x$ l'est. Donc $y\in L$. Donc $L$ est parfait.
• Soit $F/K$ est une extension avec $F$ un corps parfait. Pour tout $a\in L$, il existe $n\in \mathbb {N}$ tel que $a^{p^{n}}=\alpha \in K$. Comme $F$ est parfait, il existe un unique $b\in F$ tel que $b^{p^{n}}=\alpha$. On vérifie aisément que la correspondance $a\mapsto b$ établit un homomorphisme de $K$-extensions $L\to F$. De plus pour tout homomorphisme $\phi :L\to F$ de $K$-extensions, $\phi (a)^{p^{n}}=\phi (\alpha )=\alpha =b^{p^{n}}$, donc $\phi (a)=b$. Ce qui prouve l'unicité.

La clôture parfaite est aussi appelée clôture radicielle, ce qui est cohérent avec les propriétés ci-dessus. Elle est notée $K^{p^{-\infty }}$.

Critère de séparabilité de MacLane

Soit $K$ un corps de caractéristique $p>0$. Soit $K^{p^{-\infty }}$ sa clôture parfaite dans une clôture algébrique $\Omega$ de $K$. Alors une sous-extension $E$ de $\Omega /K$ est séparable si et seulement elle est linéairement disjointe de $K^{p^{-\infty }}$ sur $K$.

Référence

N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Masson, 1981, chap. V