Extension radicielle

Dans la théorie des extensions de corps, à l'opposé des extensions algébriques séparables, il existe les extensions radicielles. C'est un phénomène spécifique à la caractéristique positive et qui apparaît naturellement avec les corps de fonctions en caractéristique positive.

DéfinitionModifier

Soit   une extension de corps de caractéristique  . Un élément   de   est dit radiciel sur   s'il existe un entier   tel que  . Une extension (algébrique)   est une extension radicielle si tout élément de   est radiciel sur  .

Une extension radicielle est aussi appelée une extension purement inséparable, qui est plus proche de la terminologie anglophone purely inseparable extension. Le terme radiciel reflète le fait que tout élément est une racine d'un élément de   (cette propriété caractérise d'ailleurs les extensions radicielles parmi les extensions algébriques quelconques).

Une extension radicielle L/K est de hauteur m si, pour tout élément x de L, on a   et si m est minimal pour cette propriété. Toute extension radicielle finie est de hauteur finie.

ExemplesModifier

  • Si   est un élément qui n'est pas une puissance  -ième dans  , alors le polynôme   est irréductible, son corps de rupture (égal au corps de décomposition ici) est une extension radicielle de   de degré  .
  • Soit   un corps de caractéristique  . Soit   un entier naturel. Alors l'ensemble   des éléments de la forme   est un sous-corps de   et   est une extension algébrique radicielle (qui n'est pas nécessairement de degré fini).
  • Soit   le corps des fractions rationnelles à une variable sur un corps parfait  . Alors   est une extension radicielle de degré   sur   et c'est l'unique extension radicielle de   de degré  . Il en résulte que toute extension radicielle de   est isomorphe à un corps des fractions rationnelles  .
  • En revanche,   a plusieurs extensions radicielles de degré   non isomorphes entre elles (en tant qu'extensions de  ).

PropriétésModifier

  • Une extension radicielle finie est nécessairement de degré une puissance de  .
  • Le polynôme minimal d'un élément radiciel est de la forme  .
  • Si   est une extension radicielle, alors tout homomorphisme de   dans un corps parfait   s'étend de façon unique en un homomorphisme  . En particulier, si   contient   (par exemple si c'est une clôture algébrique de  ), alors tout  -homomorphisme de   dans   est égal à l'identité sur   composée avec l'inclusion canonique  .
  • Une extension radicielle de degré fini se décompose en une succession d'extensions radicielles de degré  .
  • Une clôture algébrique   de   est radicielle sur la clôture séparable de   contenue dans  .

Clôture radicielleModifier

Si l'on fixe une clôture algébrique   de  , l'ensemble des éléments de   radiciels sur   forment une extension radicielle de  , appelée clôture radicielle de  . C'est un corps parfait. Toutes les clôtures radicielles de   sont isomorphes entre elles.

Par exemple, si   est un corps parfait de caractéristique  , la clôture radicielle du corps des fractions rationnelles   est la réunion (dans une clôture algébrique de  ) des extensions   pour   parcourant les entiers naturels.

Applications aux extensions algébriquesModifier

Théorème —  Soit   une extension algébrique avec   de caractéristique  . Alors il existe une unique sous-extension   de   telle que   soit séparable et que   soit radicielle. De plus,   est exactement la clôture séparable de   dans  .

Remarques

  • Le degré de l'extension   est appelé le degré d'inséparabilité de l'extension  .
  • En général on ne peut pas décomposer   en une extension radicielle   et une extension séparable  [1]. Mais si   est une extension finie normale, alors c'est une extension galoisienne d'une extension radicielle de  . Ici l'extension radicielle n'est autre le sous-corps des éléments de   invariants par le groupe des  -automorphismes de  .
  • Un corps est parfait si et seulement s'il n'a pas d'extension radicielle autre que lui-même.
  • Un corps de fonctions en caractéristique positive en au moins une variable n'est jamais parfait.
  • Contrairement aux extensions finies séparables, une extension radicielle finie n'admet pas nécessairement d'élément primitif. Par exemple, l'extension   du corps des fractions rationnelles   nécessite deux générateurs[2].

Liens avec le FrobeniusModifier

L'endomorphisme de Frobenius d'un anneau A de caractéristique p est donné par xxp. Si K est un corps de caractéristique p, alors le Frobenius KK induit une extension radicielle de hauteur 1. C'est l'extension K de Kp (l'ensemble des puissances p-ièmes des éléments de K) ou l'extension K1/p (l'ensemble des racines p-ièmes des éléments de K dans une clôture algébrique de K) de K.

Inversement, toute extension radicielle L/K de hauteur 1 est contenue dans K1/p.

Géométrie algébriqueModifier

Un morphisme de schémas   est dit radiciel[3] si pour tout corps K, l'application   est injective. Cela revient à dire que f est injective et que pour tout point x de X, l'extension des corps résiduels   est radicielle[4].

On dit que f est un homéomorphisme universel si pour tout Y-schémas Z, le morphisme   obtenu par changement de base est un homéomorphisme[5]. Un morphisme fini surjectif et radiciel est un homéomorphisme universel, et l'inverse est vraie si de plus f est de présentation finie[6].

Si A est une variété abélienne supersingulière sur un corps de caractéristique p, le morphisme de multiplication par p sur A est un morphisme radiciel.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. En effet, considérons   le corps des fractions rationnelles à deux variables à coefficients dans un corps de caractéristique p non nulle. Alors le polynôme   est irréductible sur  . Soit   un corps de rupture de  . C'est une extension radicielle de degré   de l'extension quadratique séparable   de K. En particulier c'est une extension inséparable. Si elle est séparable sur une sous-extension radicielle E, alors   et  . Il existe donc   tels que  . Il suit que   avec  . Donc   et  . Ce qui impliquerait que  . Contradiction.
  2. En effet c'est une extension de degré  , mais tout élément de l'extension est de degré au plus  .
  3. EGA, I.3.5.4
  4. EGA, I.3.5.8
  5. EGA, IV.2.4.2
  6. EGA, IV.8.11.6

RéférencesModifier

Articles connexesModifier

Endomorphisme de Frobenius