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Cardinal and Ordinal Numbers

livre de Sierpinski sur les nombres transfinis

Cardinal and Ordinal Numbers
Auteur Wacław Sierpiński
Pays Drapeau de la Pologne Pologne
Genre Mathématiques
Version originale
Langue Anglais
Version française
Éditeur Wydawnictwo Naukowe PWN
Date de parution (première édition) et (seconde édition)
Nombre de pages 487 (première édition) puis 491 (seconde édition)
ISBN 0900318023
Série Monografie Matematyczne
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Cardinal and Ordinal Numbers est un livre sur les nombres transfinis, écrit par le mathématicien polonais Wacław Sierpiński. Il a été édité en 1958 par la maison Wydawnictwo Naukowe PWN comme le volume numéro 34 de la série Monografie Matematyczne de l'Institut de mathématiques de l'Académie polonaise des sciences[1],[2]. Sierpiński avait déjà écrit sur ce sujet dans son livre de 1928 Leçons sur les nombres transfinis, mais son livre de 1958 est complètement réécrit et nettement plus long[1]. Une deuxième édition de Cardinal and Ordinal Numbers a été publiée en 1965[2],[3].

Sujet modifier

Après cinq chapitres introductifs sur la théorie naïve des ensembles et la notation de la théorie des ensembles, et un sixième chapitre sur l'axiome du choix, le livre comporte quatre chapitres sur les nombres cardinaux, leur arithmétique, et les séries et produits de nombres cardinaux, comprenant environ 50 pages. Ensuite, quatre chapitres plus longs (totalisant environ 180 pages) traitent des ordonnancements d'ensembles, des types d'ordre, des ensembles bien ordonnés, des nombres ordinaux, de l'arithmétique ordinale et du paradoxe de Burali-Forti selon lequel la collection de tous les nombres ordinaux ne peut être un ensemble. Trois derniers chapitres concernent les nombres aleph et l'hypothèse du continu, les énoncés équivalents à l'axiome du choix, et les conséquences de l'axiome du choix[1],[2].

La deuxième édition n'apporte que des changements mineurs à la première, à l'exception de l'ajout de notes de bas de page concernant deux développements ultérieurs dans le domaine : la preuve par Paul Cohen de l'indépendance de l'hypothèse du continu, et la construction par Robert M. Solovay du modèle Solovay dans lequel tous les ensembles de nombres réels sont mesurables de Lebesgue.

Audience et réception modifier

Sierpiński était connu pour ses importantes contributions à la théorie des nombres transfinis[1],[3]. Le critique Reuben Goodstein qualifie son livre de "mine d'or de résultats"[3]. De même, Leonard Gillman écrit qu'il est très précieux "en tant que recueil d'informations mathématiques intéressantes, présentées avec soin et clarté". Gillman et John C. Oxtoby qualifient tous deux le style d'écriture de "tranquille" et "sans hâte"[1],[2], et bien que Gillman critique la traduction d'un manuscrit polonais antérieur en anglais, qu'il juge peu soignée, et signale plusieurs erreurs dans la bibliographie, il ne trouve pas que l'écriture dans le texte du livre soit problématique[2].

Dans son texte de 1970 General Topology, Stephen Willard cite ce livre comme l'une des cinq "références standard" de la théorie des ensembles[4].

Références modifier

  1. ↑ a b c d et e (en) J. C. Oxtoby, « Book Review: Cardinal and ordinal numbers », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 65, no 1,‎ , p. 21–24 (ISSN 0002-9904, DOI 10.1090/S0002-9904-1959-10264-0, lire en ligne, consulté le )
  2. ↑ a b c d et e (en) L. Gillman, Review of Cardinal and Ordinal Numbers, Mathematical Reviews (MR 0194339)
  3. ↑ a b et c (en) R. L. Goodstein, « Cardinal and Ordinal Numbers. By W. Sierpinski. Pp. 491. 1965. (P W N, Warsaw) », The Mathematical Gazette, vol. 50, no 374,‎ , p. 437–437 (ISSN 0025-5572 et 2056-6328, DOI 10.2307/3613997, lire en ligne, consulté le )
  4. ↑ (en) Stephen Willard, General Topology, Courier Corporation, (ISBN 978-0-486-43479-7, lire en ligne)

Bibliographie modifier

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