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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Algèbre (homonymie).

L'algèbre relationnelle est une théorie mathématique proche de la théorie des ensembles qui définit des opérations qui peuvent être effectuées sur des relations — des matrices contenant un ensemble de n-uplets.

Sommaire

Au sujet de l'algèbre relationnelleModifier

L'algèbre relationnelle a été inventée en 1970 par Edgar Frank Codd, le directeur de recherche du centre IBM de San José. Cette algèbre est constituée d'un ensemble d'opérations formelles sur les relations. Les opérations relationnelles permettent de créer une nouvelle relation (table) à partir d'opérations élémentaires sur d'autres tables (par exemple l'union, l'intersection, ou encore la différence).

Les principes de l'algèbre relationnelle sont beaucoup utilisés de nos jours par les SGBD pour la gestion des bases de données informatiques comme le SQL, DBase, etc.

Cependant, les bases de données relationnelles ne fonctionnent pas tout à fait selon les règles ensemblistes de l'algèbre relationnelle. En effet, si l'on ne définit pas de clé primaire, il est possible d'insérer plusieurs lignes identiques dans une table, ce qui d'un point de vue ensembliste n'a pas de sens : un élément fait partie ou ne fait pas partie d'un ensemble. Si l'on veut appliquer strictement les règles des ensembles, il faut vérifier à chaque ajout dans une table que les lignes introduites ne sont pas déjà présentes.

Éléments du modèle relationnelModifier

Objets précis du modèleModifier

Il s'agit ici de déterminer des Domaines (i.e., type atomique) :

  • Numérique : entier ou réel (SQL : Int, Float, etc.) ;
  • Chaîne de caractères (SQL : Char(20), VarChar(32), etc.) ;
  • Date (SQL : DATE, TIME, YEAR, etc.) ;
  • Type énuméré.

Relation ou TableModifier

Une relation (au sens du modèle de Codd) est constituée de deux choses :

  1. Un Schéma : Le format de la table. Le schéma est fixé ;
  2. Une Extension : Le contenu de la table, qui est un ensemble de n-uplets dont l'ordre n'a pas d'importance.

Exemple :

Schéma :

{Cle: INT, Nom: VarChar(20), Email: VarChar(20)}

Extension :

{
 {Cle: 1, Nom: "Edgar", Email: "edgar@xxxxx.xx"}
 {Cle: 2, Nom: "Frank", Email: "Frank@xxxxx.xx"}
 ...
}

Opérateurs ensemblistesModifier

L'algèbre relationnelle possède les opérations usuelles sur les ensembles[1].

Soient   et   deux relations ayant pour ensembles d'attributs respectifs   et  :

Opérateurs ensemblistes :

  • Union :  
  • Intersection :  
  • Différence :  
  • Produit cartésien :  


Opérateurs relationnelsModifier

Définir un ensemble d'opérations élémentaires permettant, par combinaison éventuelle, d'obtenir les résultats escomptés.

  • Sélection (ou restriction) :
    • Notation :  
    • Données : Une relation   et une formule   formée d'une combinaison de comparaisons et de connecteurs logiques.
    • Résultat :   satisfait la condition donnée par  
    • Équivalent SQL : WHERE
  • Projection :
    • Notation :  
    • Données : Une relation   et un ensemble d'attributs   de  .
    • Résultat :  , qui est la Relation   où on ne considère que les attributs de  
    • Équivalent SQL : SELECT
  • Rebaptiser :
    • Notation :  
    • Données : Une relation   et un attribut   de  .
    • Résultat :  , qui est la Relation   avec   rebaptisé  
    • Équivalent SQL : AS
  • Jointure :  
    • Équivalent SQL : JOIN
  • Division : elle prend en entrée deux relations   et  .
    • Ainsi, tout n-uplet   se décompose en deux n-uplets  , avec   de schéma   et   de schéma  . et retourne la table de schéma   tel que  . La division revient à donner “tous les x tels que pour tout y...”

ExemplesModifier

  • Relations de la base exemple :

Table Touristes :

idTouriste  NomT    Ville       Sport
---------- ------- ---------  ---------
1          Marc    Paris      Ski
2          Jean    Toulouse   Tennis
3          Franc   Marseille  Football
4          Thomas  Lyon       Voile
5          Max     Paris      Golf

Table Sports :

Sport
---------
Ski
Cyclisme
Tennis
Football
Voile
Golf

Table Destinations :

idTouriste  VilleD
---------- --------
1          Cannes
2          Ibiza
4          Tokyo
  • Sélection :

>  Touristes 

idTouriste NomT    Ville      Sport
---------- ------- ---------  ---------
1          Marc    Paris      Ski
5          Max     Paris      Golf
  • Projection :

>  Touristes 

NomT    Ville      
------- --------- 
Marc    Paris
Jean    Toulouse
Franc   Marseille
Thomas  Lyon
Max     Paris
  • Jointure (elle est faite sur l'identifiant du touriste « idTouriste ») :

> Touristes   Destinations

idTouriste  NomT    Ville       Sport    VilleD
---------- ------- ---------  --------- --------
1          Marc    Paris      Ski        Cannes
2          Jean    Toulouse   Tennis     Ibiza
4          Thomas  Lyon       Voile      Tokyo

Notes et référencesModifier

Voir aussiModifier