Algèbre de Toeplitz

En théorie des algèbres d'opérateurs, l'algèbre de Toeplitz ${\mathcal {T}}$ est la C*-algèbre universelle engendrée par une isométrie $S$ non unitaire. En clair, ce générateur vérifie :

$S^{*}S=1\qquad {\text{mais}}\qquad SS^{*}\neq 1.$

Si on définit l'élément $P$ de cette algèbre par $P:=1-SS^{*}$, on obtient, comme pour toute isométrie, les relations :

$PS=0\qquad {\text{et}}\qquad S^{*}P=0.$

Réalisation concrète

Considérons l'espace de Hilbert ${\mathcal {H}}:=l^{2}(\mathbb {N} )$. On peut définir l'opérateur de décalage (shift en anglais) $S$ sur ${\mathcal {H}}$ en posant : $Se_{n}=e_{n+1}.$ La sous-algèbre involutive normiquement fermée des opérateurs bornés sur ${\mathcal {H}}$ engendrée par $S$ est une réalisation de l'algèbre de Toeplitz ${\mathcal {T}}$.

Suite exacte courte

L'algèbre $\mathbb {K}$ des opérateurs compacts peut se réaliser dans ${\mathcal {T}}$ grâce à l'injection $\iota \colon e_{i,j}\mapsto (S^{*})^{i}PS^{j}$ ($i,j\in \mathbb {N}$). On obtient en fait une suite exacte courte de C*-algèbres :

$0\to \mathbb {K} \to {\mathcal {T}}\to C(\mathbb {T} )\to 0$

où $C(\mathbb {T} )$ est l'algèbre de fonctions continues sur le cercle unité $\mathbb {T}$ et le morphisme de ${\mathcal {T}}$ dans $C(\mathbb {T} )$ est celui qui à $S$ associe le générateur $z\mapsto z$ de $C(\mathbb {T} )$.

K-théorie

La K-théorie de cette algèbre est :

$K_{0}({\mathcal {T}})=\mathbb {Z} \qquad {\text{et}}\qquad K_{1}({\mathcal {T}})=0.$

En outre, $K_{0}({\mathcal {T}})$ est générée par la classe de l'identité de ${\mathcal {T}}$.

On peut le voir, par exemple, en utilisant la notion d'appariement entre cohomologie cyclique et K-théorie. En effet, l'application ${\mathcal {T}}\to C(\mathbb {T} )$ permet de définir une trace sur ${\mathcal {T}}$ par référence à l'intégration sur $C(\mathbb {T} )$. Un calcul rapide montre alors que la classe de l'identité de ${\mathcal {T}}$ est non nulle. En travaillant un peu plus, on montre qu'il s'agit en fait d'un générateur.

Références

• (en) M. Rørdam, F. Larsen et N. Lausten, An Introduction to K-Theory for C*-Algebras, CUP, 2000 (lire en ligne), p. 167-168
• (en) N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras, Oxford Science Publications, 1993