Équations équivalentes

En mathématiques, des équations équivalentes sont des équations qui ont les mêmes solutions.

Par exemple, les deux équations et sont équivalentes comme équations dans l’ensemble des nombres réels positifs, où elles ont une solution , mais elles ne sont pas équivalentes dans l’ensemble des nombres réels, car la première équation a alors une deuxième solution .

Les opérations algébriques élémentaires permettent de construire des équations équivalentes à une équation donnée, en général avec l’objectif de la résoudre[1] :

  • Si l’on ajoute ou soustrait une même expression des deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente. Par exemple, l’équation est équivalente à l’équation , comme on le voit en ajoutant à chaque membre .
  • Si l’on multiplie ou divise par une expression non nulle les deux membres d’une équation, on obtient une équation équivalente. Par exemple, l’équation est équivalente à l’équation , comme on le voit en divisant chaque membre par 7.

Plus généralement, on dit que des systèmes de plusieurs équations à plusieurs variables sont équivalents lorsque ces systèmes ont le même ensemble de solutions. Par exemple[2], les systèmes de deux équations à deux inconnues, et sont équivalents car ils ont chacun la solution .

NotesModifier