Graphe de xy = yx.

En général, l'exponentiation n'est pas commutative. Cependant, l'équation  tient dans des cas particuliers, tels que

HistoireModifier

L'équation   est mentionné dans une lettre de Bernoulli à Goldbach (29 juin 1728). La lettre contient l'affirmation selon laquelle avec   les seules solutions d'entiers naturels sont   et   bien qu'il y ait une infinité de solutions en nombres rationnels. La réponse de Goldbach () contient une solution générale de l'équation obtenue en substituant  . Une solution similaire a été trouvée par Euler.

J. van Hengel a souligné que si   sont des entiers positifs avec   alors   il suffit donc d'envisager les possibilités   et   afin de trouver des solutions entières.

Le problème a été traité dans un certain nombre de publications. En 1960, l'équation était parmi les questions de la William Lowell Putnam Competition[1] qui a incité A. Hausner à étendre les résultats aux champs de nombres algébriques[2].

Solutions réelles positivesModifier

Un ensemble infini de solutions triviales en nombres réels positifs est donné par  .

Des solutions non-triviales peuvent être trouvées en supposant   et en posant  . Ainsi,

 

En élevant les deux côtés à la puissance   et en divisant par  ,

 

Les solutions non triviales en nombres réels positifs sont

 
 

Avec   ou   cela génère les solutions non-triviales entières,  .

Les solutions triviales et non triviales se croisent lorsque  . Les équations ci-dessus ne peuvent pas être évaluées directement, mais nous pouvons prendre la limite  . Ceci est fait en remplaçant   avec  , ainsi

 

Ainsi, la ligne et la courbe se croisent lorsque x = y = e.

RéférencesModifier

  1. « 21st Putnam 1960. Problem B1 » [archive du ], .
  2. (en) Alvin Hausner, « Algebraic number fields and the Diophantine equation mn = nm », The American Mathematical Monthly, vol. 68, no 9,‎ , p. 856-861 (JSTOR 2311682).
  • (de) Johann van Hengel, « Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung ab = ba genügt », Bericht : über d. Schuljahr ... / Königliches Gymnasium zu Emmerich (1876),‎ , p. 9-12 (lire en ligne)

Liens externesModifier