Processus adapté

Dans l’étude des processus stochastiques, un processus adapté est un processus qui ne peut pas «voir l’avenir». Une interprétation informelle est qu'un processus X est adapté si et seulement si, pour chaque réalisation et chaque n, X _n est connu au temps n . Le concept de processus adapté est essentiel, par exemple, dans la définition de l'intégrale d'Itô, qui n'a de sens que si l'intégrant est un processus adapté.

Définition

Soient

• $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ un espace de probabilité ;
• $I$ l'ensemble des indices (souvent $I$est $\mathbb {N}$, $\mathbb {N} _{0}$, $[0,T]$ou $[0,+\infty )$)
• ${\mathcal {F}}_{\cdot }=\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$une filtration de la σ-algèbre ${\mathcal {F}}$;
• $(S,\Sigma )$un espace mesurable, l'espace d'états ;
• $X:I\times \Omega \to S$ un processus stochastique .

Le processus $X$ est dit adapté à la filtration $\left({\mathcal {F}}_{i}\right)_{i\in I}$ si la variable aléatoire $X_{i}:\Omega \to S$ est une $({\mathcal {F}}_{i},\Sigma )$- fonction mesurable pour chaque $i\in I$.

Voir également

• Processus prévisible
• Processus progressivement mesurable