Variété Fujiki

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En géométrie algébrique complexe, une variété complexe est dite de classe ${\mathcal {C}}$ ou de Fujiki si elle est biméromorphe à une variété Kählerienne compacte. Cette notion a été définie par Akira Fujiki^[1].

Propriétés

Soit M une variété compacte de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$ , et $X\subset M$ une sous-variété complexe de M. Alors X est aussi de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$ (^[2] Lemme 4.6). De plus,l'espace de Douady de X (c'est-à-dire les modules de déformations d'une sous-variété $X\subset M$ , M fixe) est compact et de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$ ^[3].

Les variétés de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$ sont des exemples de variétés complexes compactes qui ne sont pas nécessairement de Kähler, mais pour lesquelles le lemme-<span about="#mwt43" class="mwe-math-element" data-mw="{"name":"math","attrs":{},"body":{"extsrc":"\\partial \\bar \\partial"}}" id="6" typeof="mw:Extension/math"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <semantics> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0"> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mover> <mi mathvariant="normal">∂</mi> <mo stretchy="false">¯</mo> </mover> </mrow> </mrow> </mstyle> </mrow> <annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}</annotation> </semantics> </math></span><img alt="{\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert" data-cx="{"adapted":false}" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61471a2c013227ee2956b4a17932feebcdd39dca" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.806ex; height:2.676ex;"></span> est valable^[4].

Conjectures

J.-P. Demailly et M. Pǎun ont montré qu'une variété est de classe Fujiki ${\mathcal {C}}$ si et seulement si elle contient un courant de Kähler ^[5]. Ils ont également supposé qu'une variété M appartient à la classe Fujiki. ${\mathcal {C}}$ s'il admet un courant nef (numériquement effectif) big, c'est-à-dire satisfaisant :

\int _{M}\omega ^{dim_{\mathbb {C} }M}>0.

Pour une classe de cohomologie $[\omega ]\in H^{2}(M)$ qui est rationnel, cette affirmation est connue : par la conjecture de Grauert-Riemenschneider, un fibré en droites holomorphe L de première classe de Chern

c_{1}(L)=[\omega ]

nef et big a une dimension Kodaira maximale, d'où l'application rationnelle correspondante à

{\mathbb {P} }H^{0}(L^{N})

est génériquement fini sur son image, qui est algébrique, et donc Kähler.

Fujiki ^[6] et Ueno ^[7] se sont demandé si la propriété d'être de Fujiki-classe ${\mathcal {C}}$ est stable sous déformations. Cette conjecture a été réfutée en 1992 par Y.-S. Poon et Claude Lebrun ^[8]

Voir aussi

Cônes kählériens

Références

↑ Fujiki, « On Automorphism Groups of Compact Kähler Manifolds », Inventiones Mathematicae, vol. 44, n^o 3,‎ 1978, p. 225–258 (DOI 10.1007/BF01403162, Bibcode 1978InMat..44..225F, MR 481142, lire en ligne)
↑ Fujiki, « Closedness of the Douady spaces of compact Kähler spaces », Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, vol. 14,‎ 1978, p. 1–52 (DOI 10.2977/PRIMS/1195189279, MR 486648)
↑ Fujiki, « On the douady space of a compact complex space in the category ${\mathcal {C}}$ . », Nagoya Mathematical Journal, vol. 85,‎ 1982, p. 189–211 (DOI 10.1017/S002776300001970X, MR 759679)
↑ Angella et Tomassini, « On the $\partial {\bar {\partial }}$ -Lemma and Bott-Chern cohomology », Inventiones Mathematicae, vol. 192,‎ 2013, p. 71–81 (DOI 10.1007/s00222-012-0406-3, S2CID 253747048, lire en ligne)
↑ (en) Jean-Pierre Demailly et Mihai Paun, « Numerical characterization of the Kähler cone of a compact Kähler manifold », Annals of Mathematics, vol. 159, n^o 3,‎ 1^er mai 2004, p. 1247–1274 (ISSN 0003-486X, DOI 10.4007/annals.2004.159.1247, lire en ligne, consulté le 28 mai 2024)
↑ Fujiki, « On a Compact Complex Manifold in ${\mathcal {C}}$ without Holomorphic 2-Forms », Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, vol. 19,‎ 1983, p. 193–202 (DOI 10.2977/PRIMS/1195182983, MR 700948)
↑ K. Ueno, ed., "Open Problems," Classification of Algebraic and Analytic Manifolds, Birkhaser, 1983.
↑ (en) Claude LeBrun et Yat Sun Poon, « Twistors, Kähler manifolds, and bimeromorphic geometry. II », Journal of the American Mathematical Society, vol. 5, n^o 2,‎ 1992, p. 317–325 (ISSN 0894-0347 et 1088-6834, DOI 10.1090/S0894-0347-1992-1137099-7, lire en ligne, consulté le 28 mai 2024)

Portail de la géométrie

[1] Fujiki, « On Automorphism Groups of Compact Kähler Manifolds », Inventiones Mathematicae, vol. 44, n^o 3,‎ 1978, p. 225–258 (DOI 10.1007/BF01403162, Bibcode 1978InMat..44..225F, MR 481142, lire en ligne)

[2] Fujiki, « Closedness of the Douady spaces of compact Kähler spaces », Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, vol. 14,‎ 1978, p. 1–52 (DOI 10.2977/PRIMS/1195189279, MR 486648)

[3] Fujiki, « On the douady space of a compact complex space in the category ${\mathcal {C}}$ . », Nagoya Mathematical Journal, vol. 85,‎ 1982, p. 189–211 (DOI 10.1017/S002776300001970X, MR 759679)

[4] Angella et Tomassini, « On the $\partial {\bar {\partial }}$ -Lemma and Bott-Chern cohomology », Inventiones Mathematicae, vol. 192,‎ 2013, p. 71–81 (DOI 10.1007/s00222-012-0406-3, S2CID 253747048, lire en ligne)

[5] (en) Jean-Pierre Demailly et Mihai Paun, « Numerical characterization of the Kähler cone of a compact Kähler manifold », Annals of Mathematics, vol. 159, n^o 3,‎ 1^er mai 2004, p. 1247–1274 (ISSN 0003-486X, DOI 10.4007/annals.2004.159.1247, lire en ligne, consulté le 28 mai 2024)

[6] Fujiki, « On a Compact Complex Manifold in ${\mathcal {C}}$ without Holomorphic 2-Forms », Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences, vol. 19,‎ 1983, p. 193–202 (DOI 10.2977/PRIMS/1195182983, MR 700948)

[7] K. Ueno, ed., "Open Problems," Classification of Algebraic and Analytic Manifolds, Birkhaser, 1983.

[8] (en) Claude LeBrun et Yat Sun Poon, « Twistors, Kähler manifolds, and bimeromorphic geometry. II », Journal of the American Mathematical Society, vol. 5, n^o 2,‎ 1992, p. 317–325 (ISSN 0894-0347 et 1088-6834, DOI 10.1090/S0894-0347-1992-1137099-7, lire en ligne, consulté le 28 mai 2024)

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