Utilisateur:T. Le Berre/Brouillon
T. Le Berre/Brouillon
En mathématiques, le théorème du point fixe de Banach, aussi connu sous le nom de théorème de la contraction ou encore théorème de Banach-Caccioppoli, est un outil important de la théorie des espaces métriques. Il garantit l'existence et l'unicité de points fixes de certaines applications d'un espace métrique sur lui même, ainsi qu'une méthode pour les trouver. Il peut être vu comme une formulation abstraite de la méthode des approximations successives de Picard, qui dérive du théorème de Cauchy-Lipschitz[1]. Le théorème est nommé d'après Stefan Banach, qui l'a le premier formulé en 1922[2][3].
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Définition. Soit un espace métrique complet. Alors une application est appelée une contraction sur X s'il existe tel que
pour tout
- David Kinderlehrer et Guido Stampacchia, An introduction to variational inequalities and their applications, Academic press, coll. « Pure and applied mathematics », (ISBN 978-0-12-407350-0)
- (en) Stefan Banach, « Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales », Fundamenta Mathematicae, vol. 3, , p. 133–181 (ISSN 0016-2736 et 1730-6329, DOI 10.4064/fm-3-1-133-181, lire en ligne, consulté le )
- (en) Krzysztof Ciesielski, « On Stefan Banach and some of his results », Banach Journal of Mathematical Analysis, vol. 1, no 1, , p. 1–10 (ISSN 1735-8787, DOI 10.15352/bjma/1240321550, lire en ligne, consulté le )