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Un modèle explicatif simple

Satellite en forme d'haltère rigide de longueur 2 l, constitué de deux composantes de même masse. Dans le plan de la figure, son attitude est caractérisé par l'angle de tangage $\theta$ que fait l'axe de l'haltère avec la verticale locale. C est le centre de masse du satellite, et O le centre de la Terre.

Il est possible de décrire l'effet d'un gradient de gravité sur l'attitude d'un satellite au moyen d'hypothèses simplificatrices :

• le satellite considéré a la forme d'une haltère rigide de longueur 2 l, les deux extrêmités ayant la même masse m, et la masse de la barre reliant les deux extrêmités est considérée comme négligeable;
• le mouvement du satellite est de type képlérien non perturbé, résultant en un mouvement plan de mouvement moyen n;
• de même, seules les variations d'attitude du satellite dans ce même plan orbital sont considérées, ce qui conduit à n'avoir qu'un unique degré de liberté, noté $\theta$, représentant le mouvement de tangage du satellite;
• le mouvement est étudié dans un référentiel géocentrique, le repère orthogonal associé $\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}\}$ tournant avec le satellite. L'axe ${\vec {e}}_{2}$ du repère est choisi de sorte à relier à tout moment le centre de la Terre au centre de masse du satellite, et l'axe ${\vec {e}}_{1}$ est orthogonal à ${\vec {e}}_{2}$, contenu dans le plan de l'orbite, dirigé suivant le mouvement du satellite. L'axe ${\vec {e_{3}}}$ est orthogonal au plan de l'orbite;
• le mouvement axial du satellite, c'est à dire selon l'axe ${\vec {e}}_{2}$ est négligé, la distance entre le centre de la Terre O et le centre de masse C du satellite est constante. Par suite, l'orbite est circulaire de rayon $||{\vec {OC}}||=R$.

Un gradient de gravité représentant une différence de l'accélération dûe à la gravité entre deux points du satellite, une approximation à l'ordre deux de l'accélération en un point M du satellite est recherchée à partir de la loi de la gravitation en M :

${\vec {\gamma }}_{M}=-\mu \,{\frac {\vec {OM}}{||{\vec {OM}}||^{3}}}=-\mu \,{\frac {{\vec {OC}}+{\vec {CM}}}{||{\vec {OC}}+{\vec {CM}}||^{3}}}$

avec $\mu$ la constante gravitationnelle géocentrique. Les distances entre deux points du satellite étant petites devant les distances au centre de la Terre, un développement limité au premier ordre du dénominateur peut être obtenu :

${\frac {1}{||{\vec {OC}}+{\vec {CM}}||^{3}}}\simeq {\frac {1}{R^{3}}}(1-3{\frac {{\vec {OC}}\cdot {\vec {CM}}}{R^{2}}})$

Ceci fournit une approximation à l'ordre deux pour l'accélération en M :

${\vec {\gamma }}_{M}\simeq -\mu {\frac {{\vec {OC}}+{\vec {CM}}}{R^{3}}}(1-3{\frac {{\vec {OC}}\cdot {\vec {CM}}}{R^{2}}})$

La dynamique en tangage du satellite est déterminée par le moment de la force gravitationnelle appliquée à chaque composante $M_{1}$ et $M_{2}$ du satellite, par rapport au centre de masse C :

${\cal {\vec {M}}}_{i}={\vec {CM_{i}}}\wedge m\,{\vec {\gamma }}_{M_{i}}=-\mu \,m\,{\frac {{\vec {CM_{i}}}\wedge {\vec {OC}}}{R^{3}}}(1-3{\frac {{\vec {OC}}\cdot {\vec {CM_{i}}}}{R^{2}}})$

Lorsque le satellite possède un angle de tangage $\theta$, les deux composantes ont pour coordonnées ${\vec {CM_{1}}}={\begin{pmatrix}l\,\sin \theta \\-l\,\cos \theta \end{pmatrix}}$, et ${\vec {CM_{2}}}=-{\vec {CM_{1}}}$, ce qui, avec ${\vec {OC}}={\begin{pmatrix}0\\R\end{pmatrix}}$, donne l'expression suivante pour la projection des deux moments gravitationnels (i = 1, 2) sur l'axe ${\vec {e}}_{3}$ orthogonal au plan de l'orbite :

${\cal {M}}_{i}=\mp \mu \,m\,{\frac {l}{R^{2}}}\,\sin \theta \,(1\pm 3{\frac {l\,\cos \theta }{R}})$

Le moment d'inertie central étant $2\,m\,l^{2}$, l'équation de la dynamique de rotation autour du centre de masse et dans le plan orbital s'écrit :

$2\,m\,l^{2}\,{\ddot {\theta }}={\cal {M}}_{1}+{\cal {M}}_{2}$

soit encore :

${\ddot {\theta }}=-3{\frac {\mu }{R^{3}}}\,\cos \theta \,\sin \theta$

dans laquelle apparaît le mouvement moyen n, du fait de la troisième loi de Kepler $n^{2}={\frac {\mu }{R^{3}}}$ :

${\ddot {\theta }}+3n^{2}\,\cos \theta \,\sin \theta =0$

Cette équation différentielle décrit un mouvement de pendule appelé mouvement de libration. De plus, la valeur $\theta =0$ correspond à un point d'équilibre. Les petits mouvements autour de ce point d'équilibre peuvent être étudiés en approximant $\cos \theta \simeq 1$ et $\sin \theta \simeq \theta$, ce qui conduit à l'équation d'un oscillateur linéaire à un degré de liberté non amorti :

${\ddot {\theta }}+3n^{2}\,\theta =0$

la fréquence de libration étant reliée au mouvement moyen par la relation $\omega _{lib}={\sqrt {3}}\,n$. Du fait de l'absence d'amortissement, le point d'équilibre $\theta ={\dot {\theta }}=0$ est marginalement stable. Le gradient de gravité est donc en soi insuffisant pour complètement stabiliser l'attitude du satellite. Toute perturbation entraîne l'apparition d'une oscillation harmonique qui se maintient très longtemps. La stabilisation par gradient de densité est donc finalement obtenue en introduisant des mécanismes passifs d'amortissement dans la structure du satellite, par exemple au moyen de liaisons élastiques entre diverses composantes du satellite.