Utilisateur:Salle/Brouillon2

Généralités sur les polynômes

Définition des polynômes à une indéterminée

En remarquant qu'il y a le cas où les coefficients sont numériques, mais qu'on peut se restreindre aux coefficients rationnels ou entiers, ou dans d'autres ensembles de « nombres ».

Degré et valuation

Un peu de vocabulaire.

Polynômes et fonctions polynômes

Si les objets peuvent être mis en correspondance pour les coefficients réels, ce n'est pas toujours le cas.

Opérations sur les polynômes

On peut additionner, soustraire, multiplier (pourquoi pas une remarque sur l'algorithmique) ; pour diviser, c'est l'arithmétique, et ça dépende de l'arithmétique des coefficients.

Polynômes à plusieurs indéterminées

Evoquer comme généralisation, sans technicité sur les degrés et les racines.

Racines des polynômes

Le second degré

Les formules de discriminant.

Les degrés supérieurs, point de vue algébrique

Evoquer Cardan et Ferrari (voire écrire la formule de Cardan pour un cas sur le discriminant, pour voir). Puis Abel et Galois en plaçant la notion d'extension de corps.

Approximations des racines

Méthodes itératives, et méthodes de comptage, à la Sturm/Descartes.

Arithmétique des polynômes

Les procédés de division

K[X] est euclidien, division suivant les puissances.

Les factorisations

La factorisation réelle comme recherche de racines (complexes). Dans d'autres corps, comme Q, c'est plus compliqué.

Analyse numérique

Interpolation

Intyerpolation. Et splines ?

Théorèmes de densité

Weierstrass et les PMAU (je le mets sans trop savoir, je ne connais pas du tout la suite de l'histoire).

Géométrie algébrique