Utilisateur:SARIAN Armen/Résolution des équations cubiques

Expression des solutions de degré 3

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Démonstration

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Soit  , avec  . On pose   et, après division par  , on se ramène à   avec  .

En exprimant  , on remarque que  , soit  .

Par identification, on a alors   et on pose alors (c'est le principe de la Substitution de Viète)   (puisqu'on est libre de choisir soit  , soit  ).

On a alors  , donnant    avec  . Ici, il faut considérer que la racine carrée d'un réel négatif est un nombre imaginaire, ce qui fait 6 solutions pour  . Mais, comme  , on a, au plus, 3 solutions :  .

Cas où p et q sont réels

Si   et   sont réels (ce qui sera forcément le cas si  ,  ,   et   sont réels), on pose   et 3 cas se présentent :

  • Si  , on a 1 racine réelle ( ) et 2 racines complexes conjuguées (  et  ) ; et la racine réelle s'exprime à partir de racines cubiques, ainsi :  .
  • Si  , on a 3 racines réelles et :
    • Si  , les 3 racines sont triples :  .
    • Si  , 2 racines sont doubles :   et   puisque  .
  • Si  , on a 3 racines réelles différentes ; et les racines ne peuvent pas s'exprimer à partir de racines cubiques de réels (c'est le casus irreducibilis), mais à partir de fonctions trigonométriques. On a   et   avec  , ainsi :
 .
Note : Pour calculer les 3 valeurs réelles, il nous a été nécessaire de calculer la racine carrée d'un nombre négatif. C'est Raphaël Bombelli qui a inventé   permettant de trouver les racines réelles.

Expressions (avec p et q)

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On pose :  .

On a :  .

c.-à-d. :

  • Si  , on a 1 racine réelle ( ) et 2 racines complexes conjuguées (  et  ) :  .
  • Si  , les trois racines sont réelles et :
    • Si   et les 3 racines sont triples :  .
    • Si   et 2 racines sont doubles :   et  .
  • Si  , on a 3 racines réelles différentes :  .

Expressions (avec a, b, c et d)

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Finalement, les trois racines, qui peuvent dans certains cas être égales, sont :