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Physique des ondes II

Approximation des milieux continus

${\begin{cases}\lambda _{sources}\backsim 1m\\d_{entre\;atomes}\backsim 10^{-10}m\end{cases}}\Rightarrow d\ll \lambda$

Modèle des ressorts

TRD

$m{\ddot {x}}_{n}=-K(2\xi _{n}-\xi _{n+1}-\xi _{n-1})$

DL 2

$\xi (n+d,t)=\xi (x,t)+d{\frac {\partial \xi }{\partial x}}+{\frac {d^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial ^{2}x}}$

Équation de d'Alembert

${\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\xi }{\partial t^{2}}}=0$

${\text{avec }}c={\sqrt {\frac {Kd^{2}}{m}}}$

Modèle de la corde vibrante

• Exitation verticale
• Corde inextensible
• Force constante
• Masse linéique de la corde :$\mu$
• ${\vec {T}}_{D}=-{\vec {T}}_{G}$

TRD

$dm.{\vec {a}}={\vec {T}}_{G}(x)+{\vec {T}}_{D}(x+dx)$

$\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}{\vec {u}}_{y}=-{\vec {T}}_{D}(x)+{\vec {T}}_{D}(x+dx)$

$\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=T(\alpha (x+dx)-\alpha (x))$

$\mu dx{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=T{\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}dx$

Équation de d'Alembert

${\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}=0$

$c={\sqrt {\frac {T}{\mu }}}$

Annexe

Forme locale

Soit une grandeur ϕ supposée conservée, se déplaçant à une vitesse ${\vec {v}}$. Alors pour tout élément de volume $d^{3}\tau$, on a :

$\mathrm {div} (\phi {\vec {v}})+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}=0$

Preuve

On utilise le théorème de Green-Ostrogradski. Donc,

$\oint _{\Sigma }\phi {\vec {v}}\cdot {\vec {dS}}=\int _{V}\mathrm {div} (\phi {\vec {v}})d\tau$

En substituant, on obtient donc,

$\int _{V}\mathrm {div} (\phi {\vec {v}})d\tau +\int _{V}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}d\tau =0$

Cette formule est valable pour tout volume V aussi petit soit-il. On en déduit donc la forme locale.

Physique des ondes III

$(1):\mu _{0}{\frac {\partial v_{1}}{\partial t}}=-{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~p_{1}{\xrightarrow[{}]{\times v_{1}}}\mu _{0}{\vec {v_{1}}}{\frac {\partial {\vec {v_{1}}}}{\partial t}}-{\vec {v_{1}}}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}~p_{1}$

${\begin{cases}{\vec {\pi }}=p_{1}{\vec {v_{1}}}\\e={\frac {1}{2}}\mu _{0}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}\chi _{S}p_{1}^{2}\end{cases}}$ $\Rightarrow \operatorname {div} {\vec {\pi }}+{\frac {\partial e}{\partial t}}=0$