Utilisateur:Pmassot/Brouillon formes

Introduction vulgarisée

On se place dans le cadre de l'espace affine euclidien standard $R^{n}$ pour simplifier.

Un objet à intégrer

Dans la suite on parlera de façon volontairement floue de sous-ensemble de dimension $p$ de $R^{n}$. Par exemple un segment est de dimension un, l'intérieur d'un carré dans le plan est de dimension 2 tout comme une sphère dans $R^{3}$.

Une forme différentielle $\alpha$ de degré p sur $R^{n}$ est un objet géométrique qui associe à chaque sous-ensemble M de dimension p de $R^{n}$ un nombre réel. On dit qu'on a intégré $\alpha$ sur M et on note le résultat $\int _{M}\alpha .$

Pour décrire plus précisemment quel type de mécanisme d'association est autorisé on s'appuie sur l'idée qu'au voisinnage de tout point $x$ de $M$ on peut approcher $M$ par une petite boîte engendrée par $p$ vecteurs de $R^{n}$. Ainsi, pour $p=1$, un morceau de courbe sera approché par un petit vecteur, pour $p=2$ on approche un morceau de surface par un parallélograme engendré par deux vecteurs etc.

Ponctuellement, la forme différentielle $\alpha$ est la donnée pour tout point $x$ de $R^{n}$ d'une fonction $\alpha _{x}$ qui à une $p$-boîte associe un nombre. Cette fonction peut être vue comme un unité de $p$-volume locale déterminée par $\alpha$. Ainsi on demande qu'une $p$-boîte écrasée (par exemple un parallélograme dont tous côtés sont parallèles) soit envoyée sur 0 par $\alpha _{x}$. On demande aussi que $\alpha _{x}$ dépende linéairement de chaque vecteur qui défini la boîte. Ainsi pour $p=1$ on a simplement une fonction linéaire d'un vecteur et pour $p=2$, si on multiplie la longueur d'un des deux côtés d'un parallélogramme par $k$ alors le résultat obtenu en appliquant $\alpha _{x}$ est multiplié par $k$, ce qui est cohérent avec l'intuition classique du calcul d'aire.

L'objet $\alpha _{x}$ est appelé $p$-forme multi-linéaire alternée sur $R^{n}$. Pour $p=0$ on retrouve la notion de fonction de $R^{n}$ dans $R$.

Pour définir $\int _{M}\alpha$ on divise M en un très grand nombre (en fait un nombre infini) de morceaux qu'on approxime par des $p$-boîtes $B_{i}$ autour de points $x_{i}$ et on fait la somme sur $i$ des $\alpha _{x_{i}}(B_{i})$.

Tiré en arrière

Si $\phi$ est un difféomorphisme de $R^{n}$ (c'est à dire une bijection continument différentiable et dont la réciproque est continument différentiable) et $\alpha$ est une p-forme différentielle alors la p-forme différentielle $\phi ^{*}\alpha$ est définie par

$\int _{M}\phi ^{*}\alpha =\int _{\phi (M)}\alpha .$

Ponctuellement, on a, en notant $D\phi _{x}$ la différentielle de $\phi$ au point $x$,

$(\phi ^{*}\alpha )_{x}(u_{1},\dots ,u_{p})=\alpha _{\phi (x)}(D\phi _{x}(u_{1}),\dots ,D\phi _{x}(u_{p})).$

Dérivée extérieure et théorème de Stokes

Soit $K$ un sous-ensemble de dimension $p+1$ dans $R^{n}$ ayant pour bord un sous-ensemble $\partial K$ de dimension $p$. L'analyse vectorielle, utilisée en physique par exemple, montre qu'on peut attendre qu'une intégrale sur $\partial K$ s'exprime comme intégrale sur $K$ d'un certain type de dérivée de ce qu'on a intégré sur $\partial K$.

Ici, on veut pouvoir exprimer, pour toute $p$-forme différentielle $\alpha$, l'intégrale $\int _{\partial K}\alpha$ comme l'intégrale d'une $(p+1)$-forme différentielle sur $K$. Montrons qu'une telle $(p+1)$-forme différentielle existe toujours et est unique. Elle sera notée $d\alpha$ et appelée dérivée extérieure de $\alpha$. On aura ainsi le théorème de Stokes $\int _{\partial K}\alpha =\int _{K}d\alpha .$

Il s'agit de montrer qu'en tout point $x$ de $R^{n}$ et pour toute $(p+1)$-boîte $B$ en $x$ on peut définir un $(d\alpha )_{x}(B)$ d'une façon compatible avec le théorème de Stokes. C'est donc de la démarche inverse du paragraphe sur l'intégration des formes différentielles. En effet pour intégrer une forme différentielle on part d'un sous-ensemble, on le divise en petits morceaux et on utilise la connaisance des $\alpha _{x}$ pour calculer la contribution de chaque petit morceau. Ici on connait déjà la valeur attendu de l'intégrale de $d\alpha$ et on va remonter à $(d\alpha )_{x}$.

Pour chaque $(p+1)$-boîte engendrée au point $x_{0}$ par des vecteurs $u_{1},\dots ,u_{p+1}$, on considére donc la boîte $B_{\epsilon }$ engendrée par $\epsilon u_{1},\dots ,\epsilon u_{p+1}$ et on impose

$\int _{B_{\epsilon }}d\alpha =\int _{\partial B_{\epsilon }}\alpha$.

Par définition de l'intégrale sur un tout petit domaine on a

$\int _{B_{\epsilon }}d\alpha =d\alpha _{x_{0}}(\epsilon u_{1},\dots ,\epsilon u_{p+1})=\epsilon ^{p+1}d\alpha u_{1},\dots ,u_{p+1}$.

On a sorti les $\epsilon$ de $d\alpha$ en utilisant sa multilinéarité attendue. Comparant les deux formules précédantes, on définit donc :

$d\alpha _{x_{0}}(u_{1},\dots ,u_{p+1})=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon ^{p+1}}}\int _{\partial B_{\epsilon }}\alpha .$

Par exemple si $\alpha$ est de degré zéro sur l'espace de dimension un alors elle est une fonction $f:R\to R$ et, pour tout vecteur $u$ accroché au point $x_{0}$ le bord de la 1-boîte engendrée par $u$ est constitué des deux points $x_{0}$ et $x_{0}+\epsilon$ orientés de façon opposés. La définition ci-dessus donne alors :

$df_{x_{0}}(u)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}\int _{\{x_{0}+h\}-\{x_{0}\}}f,$

c'est à dire :

$df_{x_{0}}(u)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\epsilon }}(f(x_{0}+\epsilon u)-f(x_{0}))=f'(x_{0})u.$

Les définitions précédantes montrent clairement que pour tout difféomorphisme $\phi$ on a $d(\phi ^{*}\alpha )=\phi ^{*}(d\alpha )$.

Lien avec les champs de vecteurs

Soit $X$ un champ de vecteur sur $R^{n}$. Le flot de $X$ est l'application $\phi :R\times R^{n}\to R^{n}$ qui à $(t,x)$ associe $\gamma (t)$ où $\gamma$ est la courbe solution de ${\dot {\gamma }}(t)=X(\gamma (t))$ vérifiant $\gamma (0)=x$. Pour tout t, on note $\phi _{t}$ le difféomorphisme qui à x associe $\phi (t,x)$. Soit $\alpha$ une p-forme différentielle.

Le produit intérieur de $\alpha$ par $X$ est la (p-1)-forme notée $\iota _{X}\alpha$ et définie par

$\int _{N}\iota _{X}\alpha =\lim _{t\to 0}{\frac {1}{t}}\int _{N\times [0,t]}\phi ^{*}\alpha .$

Poncutellement, on a $(\iota _{X}\alpha )_{x}(u_{1},\dots ,u_{p-1})=\alpha _{x}(X(x),u_{1},\dots ,u_{p-1})$ donc le produit intérieur est une opération purement ponctuelle.

La dérivée de Lie $\alpha$ dans la direction de $X$ est la p-forme notée ${\mathcal {L}}_{X}\alpha$ et définie par

$\int _{N}{\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\frac {d}{dt}}\left(\int _{N}\phi _{t}^{*}\alpha \right)_{t=0}.$

Poncutellement, on a $({\mathcal {L}}_{X}\alpha )_{x}={\frac {d}{dt}}\left((\phi _{t}^{*}\alpha )_{x}\right)_{t=0}$ qui dépend de $X$ et de $\alpha$ dans un voisinage de $x$.

La dérivée de Lie, le produit intérieur et la dérivée extérieure sont liés par la formule magique de Cartan :

${\mathcal {L}}_{X}\alpha =d(\iota _{X}\alpha )+\iota _{X}(d\alpha )$

La démonstration de cette formule est une application directe des définitions précédantes, du théorème de Stokes et du fait que $\partial (M\times [0,t])=(\partial M\times [0,t])\cup (M\times \{0\})\cup (M\times \{1\})$.

Cette formule est fondamentale dans les applications des formes différentielles.