Utilisateur:Pmassot/Brouillon

Brouillon d'introduction vulgarisée pour Géométrie symplectique

Introduction

Cet article est une presentation élémentaire de la géométrie symplectique. Le fil conducteur choisi est l'idée que la géométrie symplectique est le cadre géométrique naturel de la mécanique classique. Ce cadre permet en particulier d'étudier le comportement global d'un système mécanique, de traiter les symétries et leurs conséquences et d'étudier des questions qualitatives comme par exemple l'existence de trajectoires périodiques ou le caractère chaotique ou stable d'une évolution. Cette approche privilégie donc les liens qu'entretient cette géométrie avec la physique et les systèmes dynamiques mais des questions plus purement mathématiques et des liens avec d'autres géométries seront aussi présentés.

Espace des phases en mécanique

En mécanique on repère la position d'un système par un certain nombre de coordonnées $(q_{1},\dots ,q_{n})$. Par exemple un pendule astreint à rester dans un plan sera repéré par un seul nombre $q_{1}$ qui sera l'angle que fait sa tige avec la verticale. La position occupée par deux planètes dans le système solaire pourra être repérée par six nombres, un pour chaque coordonnée spatiale de chacune des planètes. L'ensemble des nombres $(q_{1},\dots ,q_{n})$ décrivant les positions possibles d'un système est appellé espace de configuration du système. Les lois de Newton de la mécanique affirment (entre autres choses) qu'un système mécanique évolue d'une façon déterministe qui peut être prévue si on connait la position et la vitesse d'un point à l'instant initial. Pour prendre en compte les vitesses on ajoute donc $n$ nouvelles variables $(p_{1},\dots ,p_{n})$. Dans le premier exemple $p_{1}$ serait la vitesse angulaire du pendule et dans le deuxième on aurait les composantes de la vitesse des deux planètes. L'ensemble des nombres $(q_{1},p_{1},\dots ,q_{n},p_{n})$ possibles est appelé espace des phases du système. Le nombre $n$ est appelé nombre de degrés de liberté du système.

Dans cet espace on peut dessiner toutes les trajectoires du système en partant de n'importe quel point avec n'importe quelle vitesse.

Bien sûr, il n'est en général pas possible de calculer explicitement toutes les trajectoires possibles et même un tel calcul ne donne pas forcement une bonne idée globale du comportement du système étudié. Pour comprendre ce comportement on peut essayer de suivre le déplacement d'un sous-ensemble de l'espace des phases, on a alors accès à des informations globales et qualitatives.

Dans toute la suite on suppose que le système évolue en suivant les lois de la mécanique de Newton pour des forces dérivant d'un potentiel (ce qui signifie en simplifiant qu'il n'y a pas de frottements). On peut se demander quel type de géométrie est adapté à cette étude des trajectoires dans l'espace des phases. La géométrie euclidienne est la plus familière mais elle n'est pas adaptée car les droites ne sont pas conservées lors de l'évolution d'un système mécanique. Ainsi dans l'exemple du pendule simple on constate que si l'on part de configurations alignées cette proporiété se perd en route. Il y a pire, un segment de droite n'est même pas envoyé sur une courbe de même longueur. Dans la suite on verra que la géométrie pertinente est la géométrie symplectique.

De Liouville à Gromov

Théorème de Liouville

Le théorème de Liouville affirme que lorsqu'un système mécanique évolue, le volume de toute partie de l'espace des phases est préservé. Voici comment on défini le volume d'une partie de l'espace des phases qui est de dimension $2n$. Si la partie est définie par les conditions :

$q_{1}^{0}\leq q_{1}\leq q_{1}^{1},p_{1}^{0}\leq p_{1}\leq p_{1}^{1},\dots ,q_{n}^{0}\leq q_{n}\leq q_{n}^{1},p_{n}^{0}\leq p_{n}\leq p_{n}^{1}$

alors le volume est

$(q_{1}^{1}-q_{1}^{0})(p_{1}^{1}-p_{1}^{0})\dots (q_{n}^{1}-q_{n}^{0})(p_{n}^{1}-p_{n}^{0}).$

Dans le cas où $n=1$ on retrouve la définition de l'aire d'un rectangle. Si la partie dont on veut calculer le volume est plus compliquée, on la découpe en un très grand nombre de parties telles que plus haut et on fait la somme des volumes. Lorsque le nombre de rectangle tend vers l'infini et que leur réunion tend vers la partie initiale on trouve le volume.

Ainsi dans le cas du pendule simple, on a conservation de l'aire de toute partie de l'espace des phases que l'on suit lors de l'évolution du système.

Le théorème de Liouville affirme que l'évolution d'un système mécanique préserve le volume dans l'espace des phases.

On peut donc penser que la structure géométrique de l'espace des phases est celle du volume des objets mais on va voir dans le paragraphe suivante qu'il existe une géométrie plus subtile.

Théorème de Poincaré

Le théorème de Poincaré est un raffinement du théorème de Liouville. Pour l'énoncer il faut introduire quelques notations. Pour tout $i$ compris entre 1 et $n$, on note $\pi _{i}$ la projection de l'espace des phases sur le plan des $(q_{i},p_{i})$. C'est donc la fonction qui à $(q_{1},p_{1},\dots ,q_{n},p_{n})$ associe $(q_{i},p_{i})$.

Le théorème de Poincaré affirme que pour toute surface $S$ dans l'espace des phases, la somme des aires des projections $pi_{i}(S)$ est conservée par l'évolution du système. %Todo dessin de la projection d'une surface

Une structure symplectique sur un ensemble est un mécanisme d'attribution d'un nombre à toute surface dans l'ensemble et qui vérifie certaines conditions sur lesquelles on reviendra plus loin. Le fait d'associer à chaque surface $S$ de l'espace des phases la somme des aires de ses projections $\pi _{i}(S)$ est un exemple de telle structure qu'on appelle structure symplectique canonique de l'espace des phases.

Le théorème de Poincaré affirme donc que l'évolution d'un système mécanique préserve la structure symplectique canonique de l'espace des phases.

On peut montrer que le théorème de Poincaré implique celui de Liouville.

Théorème de non-tassement de Gromov

Pendant très longtemps, personne n'a su si le théorème de Poincaré permettait d'avoir vraiment plus d'information sur l'évolution des formes dans l'espace des phases que le théorème de Liouville. Enfin, en 1985, Gromov a démontré le théorème suivant : pour tout système mécanique à $n$ degrés de liberté, la boule

$B=\{(q_{1},p_{1},\dots ,q_{n},p_{n});q_{1}^{2}+p_{1}^{2}+\cdots +q_{n}^{2}+p_{n}^{2}\leq 1\}$

ne peut jamais évoluer en un ensemble dont tous les points vérifient

$q_{1}^{2}+p_{1}^{2}\leq r^{2}$ pour un $r$ strictement plus petit que 1.

Or une telle évolution serait possible si seul le théorème de Liouville était vrai et pas le théorème de Poincaré. Ce théorème de Gromov est un théorème difficile et qui a de nombreuses conséquences, il a révolutionné le domaine de la géométrie symplectique.

Symétries en mécanique

Le deuxième argument confortant l'idée que la géométrie symplectique est la géométrie naturelle des espaces de phases est la facilité avec laquelle elle permet d'intégrer les questions de symétrie et leurs conséquences dans la théorie.

Théorème de Noether

La présence de symétries dans un système mécanique a toujours pour conséquence la conservation de certaines quantités calculées à partir des positions et vitesses des objets étudiés. Ainsi lorsqu'un système est invariant par translation dans une direction, la quantité de mouvement dans cette direction est conservée. Lorsque le système est invariant par rotation autour d'un axe, le moment cinétique par rapport à cet axe est conservé.

Dans la formulation Newtonnienne de la mécanique classique, il semble impossible d'énoncer un théorème général qui engloberait les exemples cités ainsi que des situations possédant des symétries plus compliquées.

Le théorème de Noether affirme que dès que l'on a un groupe à un paramètre de transformations qui préserve un système mécanique il existe une quantité conservée lors de l'évolution de ce système. En fait l'énoncé complet donne une formule pour cette quantité en fonction des transformations et du système considérés.

Dans la formulation lagrangienne de la mécanique on peut démontrer ce théorème en un dizaine de lignes. Dans la formulation hamiltonienne en termes de géométrie symplectique la démonstration ne fait qu'une ligne et l'énoncé se généralise au cas de groupe de transformations à un nombre quelquonque de paramètres qui ne commuttent pas nécessairement entre elles. Le nombre de quantités conservées est alors égal au nombre de paramètres du groupe de transformations.

Systèmes hamiltoniens intégrables

Une des conséquences de l'existence de quantités conservées est qu'elle contraint le système mécanique étudié à rester dans certaines régions de l'espace des phases définies par les conditions initiales.

Lorsqu'on a autant de quantités conservées que de degrés de liberté on dit que le système mécanique est intégrable et la situation devient très simple, c'est ce qu'affirme le théorème d'Arnold-Liouville : pour presque toute énergie de départ il existe des coordonnées $(I_{1},\dots ,I_{n},\theta _{1},\dots ,\theta _{n})$ et des nombres $\omega _{i}(I_{1},\dots ,I_{n})$ tels que

$\theta _{i}(t)\ =\ \omega _{i}(I_{1},\dots ,I_{n})\ t\ +\ \theta _{i}(0).$

Systèmes presque intégrables

Bien sûr la plupart des systèmes mécaniques ne sont pas intégrables mais certains sont proches d'être intégrable, on peut alors essayer de comprendre dans quelle mesure leur comportement s'éloigne de celui d'un système intérable, c'est l'objet de la théorie des perturbations qui fait elle aussi un grand usage de la structure symplectique des espaces de phases.

Variétés symplectiques

Les espaces de phases étudiés jusqu'à maintenant étaient assez simples car nous étions partis d'espaces de configurations assez simples. Cependant, dans l'exemple du pendule simple, il eut été plus logique de considérer que la variable $q_{1}$ vivait dans une cercle et pas dans une droite. Plus généralement, on peut imaginer des espaces de configuration arbitrairement compliqués, par exemple si un point est astreint à se déplacer sur une surface ayant une forme sophistiquée.

Quelle que soit la complexité de l'espace de configuration on peut toujours lui associer un espace des phases appelé fibré cotangent de l'espace de configuration et qui est toujours muni d'une structure symplectique canonique. Les théorèmes de Liouville, Poincaré, Noether et Liouville-Arnold restent vrais et on peut donner des analogues du théorème de Gromov dans ce cadre plus général.

Définition et théorème de Darboux

On peut vouloir aller plus loin dans la généralisation et étudier tous les espaces munis d'une structure symplectique. Pour cela il faut revenir un peu plus en détail sur la définition d'une structure symplectique. À partir de maintenant on considère un variété $M$ de dimension $2n$, c'est à dire un ensemble qui peut localement être paramétré par $2n$ nombres. Comme expliqué plus haut, une structure symplectique sur $M$ est une application qui, à toute surface dans $M$, associe un nombre et qui vérifie en plus deux propriétés. La première est que cette structure doit permettre d'associer un volume à toute partie de dimension $2n$ de $M$ en procédant comme expliqué dans le paragraphe sur le théorème de Poincaré. La deuxième condition est que le nombre associé à toute surface sans bord est nul.

Le passage des espaces de phases aux variétés symplectiques générales est une grande généralisation mais on peut montrer qu'une variété symplectique ressemble toujours localement à un espace de phases. C'est le théorème de Darboux : au voisinage de n'importe quel point, toute variété symplectique peut être paramétré par un espace de phase de sorte que toute surface assez petite se voit attribuer le même nombre par la stucture symplectique donnée et par la structure symplectique de l'espace des phases.

Existence et classification

La question de savoir quels ensembles admettent au moins une structure symplectique est difficile. On connait de nombreux exemples, des conditions nécessaires, d'autres qui sont suffisantes mais aucune caractéristation complète.

De même, une fois l'existence acquise on ne sait que très rarement combien de structures symplectiques réellement différentes cohabitent sur un même ensemble.

Symplectomorphismes

L'étude de la géométrie symplectique est née du constat que l'évolution d'un système mécanique préserve la structure symplectique canonique de l'espace des phases. Plus généralement on peut chercher à comprendre l'ensemble des transformations qui préservent une structure symplectique donnée. De telles transformations sont appelées symplectomorphismes et sont toujours très nombreuses, elles forment un ensemble de dimension infinie. Pour comprendre la forme de cet ensemble, on cherche à le comparer à des ensembles plus petits que l'on comprend mieux. Les premiers résultats significatifs dans ce domaine sont dus à Gromov dans la foulée de son théorème de non-tassement.

Liens avec d'autres géométries

Liens avec la géométrie complexe

De nombreux exemples de structures symplectiques et de nombreuses questions viennent de la géométrie complexe. Ainsi pour (presque) toute équation polynomiale en plusieurs variables complexes, l'ensemble des solutions est muni d'une structure symplectique. L'étude des ces équations et des structures symplectiques s'éclairent l'une l'autre et c'est en transposant au cas symplectique général des idée nées dans le contexte de la géométrie complexe que Gromov a obtenu son théorème de non-tassement et de nombreux autres résultats révolutionnaires.

Liens avec la géométrie de contact

La géométrie de contact est une autre branche de la géométrie très liée à la géométrie symplectique. En effet, pour toute variété symplectique $M$, l'ensemble des couples formés d'un point de $M$ et d'un nombre réel est naturellement équipée d'une structure de contact. De même il existe un énoncé analogue permettant de passer d'une variété de contact à une variété symplectique.

De plus, sous des circonstances favorables, le bord éventuel d'une variété symplectique hérite d'une structure de contact. On dit alors que la variété symplectique est un remplissage de la variété de contact.

Du fait que l'énergie d'un système mécanique (du type considéré plus haut) se conserve, si le système part avec une énergie $E_{0}$ alors il ne parcourera dans l'espace des phases que le sous-ensemble sur lequel l'énergie vaut $E_{0}$. Lorsqu'on étudie la géométrie de ces sous-ensemble et qu'on se demande si il existe des états d'énergie $E_{0}$ dont l'évolution est périodique, c'est à dire qu'elle se répète régulièrement, on rejoint naturellement le domaine de la géométrie de contact avec la conjecture de Weinstein.