Utilisateur:Otto Cyber/brouillon

Soit $l=\lim \limits _{t\rightarrow 0^{+}}f\left(t\right)$ et $\varepsilon >0$. Il existe par hypothèse $\eta >0$ tel que pour tout t tel que $0<t<\eta$, on a $\vert f(t)-l\vert \leq \varepsilon$. D'autre part,

$p\int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-pt}dt=I_{1}+I_{2}$

avec

$I_{1}=p\int _{0}^{\eta }f(t)e^{-pt}dt$, $I_{2}=p\int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-pt}dt$.

Soit $\alpha$ un réel strictement supérieur à l'abscisse de convergence de $F(p)$ et $p\in \mathbb {R}$, $p>\alpha$. On a

$\left\vert I_{2}\right\vert =\left\vert \int _{\eta }^{+\infty }f(t)e^{-\left(p-\alpha \right)t}e^{-\alpha t}dt\right\vert \leq pe^{-\left(p-\alpha \right)\eta }\int _{0}^{+\infty }\left\vert f\left(t\right)\right\vert e^{-\alpha t}dt$

où l'intégrale de droite est convergente, donc $I_{2}\rightarrow 0$ lorsque $p\rightarrow +\infty$. D'autre part,

$\left\vert I_{1}-p\int _{0}^{\eta }le^{-pt}dt\right\vert \leq p\varepsilon \int _{0}^{\eta }e^{-pt}dt=\varepsilon \left(1-e^{-p\eta }\right)$

et ce terme tend vers $\varepsilon$ lorsque $p\rightarrow +\infty$. Enfin,

$\left\vert p\int _{0}^{\eta }le^{-pt}dt-l\right\vert \leq le^{-p\eta }$

et ce terme tend vers 0 lorsque $p\rightarrow \infty$. Finalement, en regroupant les inégalités ci-dessus, on obtient

$\lim \limits _{p\in \mathbb {R} ,p\rightarrow +\infty }\left\vert pF\left(p\right)-l\right\vert \leq \varepsilon$.

Or, $\varepsilon >0$ est arbitrairement petit, donc cette limite est nulle.