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Extensions

Des extensions de la notion de suite automatiques à d'autres systèmes de numération ont été étudiées. Les auteurs présentent le classement, par généralisation successive  :

Base entière $\subset$ Base Pisot $\subset$ Base Parry $\subset$ Base Bertrand $\subset$ Système abstrait.

La base de numération, un entier $k$, est successivement remplacé par un nombre de Pisot, un nombre de Parry ou un nombre de Bertrand.

Système de numération

Plus généralement, un système de numération (positionnel) est ici une suite croissante $U=(U_{n})_{n\geq 0}$ d'entiers positifs, avec $U_{0}=1$ et tel que $C_{U}:=\sup {(U_{n+1}/U_{n}}<+\infty$. On associe à $U$ l'alphabet $A_{U}=\{0,1,\ldots C_{U}\}$. La représentation gloutonne d'un entier positif n est le mot

$\operatorname {rep} _{U}(n)=w_{\ell -1}\cdot w_{0}$

sur $A_{U}$ vérifiant

$n=\sum _{i=0}^{\ell -1}w_{i}U_{i}$

avec les condition :

$w_{\ell -1}\neq 0$ et $\sum _{i=0}^{j-1}w_{i}U_{i}<U_{j}$ pour $j=1,\ldots ,\ell$.

C'est bien entendu la dernière des conditions que détermine le caractère glouton de la représentation. On note

$\operatorname {rep} _{U}(\mathbb {N} )=\{\operatorname {rep} _{U}(n)\mid n\in \mathbb {N} \}$

l'ensemble des mots représentant les entiers naturels.

Beta-développement

Soit β > 1 un nombre réel ; la valeur de

$x=d_{n}\dots d_{2}d_{1}d_{0}.d_{-1}d_{-2}\dots d_{-m}$

le nombre

$x=\beta ^{n}d_{n}+\cdots +\beta ^{2}d_{2}+\beta d_{1}+d_{0}+\beta ^{-1}d_{-1}+\beta ^{-2}d_{-2}+\cdots +\beta ^{-m}d_{-m}.$

la suite

$x=d_{n}\ldots ,d_{2},d_{1},d_{0}.d_{-1},d_{-2},\dots ,d_{-m}$

est le développement en base $\beta$ de $x$ pourvu que les $d_{i}$ sont des entiers naturels inférieurs à β. Le concept de développement en base β ou β-développement, a été introduit par (Rényi 1957) et a été étudié en détail par W. Parry . Tout nombre réel possède un développement en base β, éventuellement infini.

Selon que β est un nombre de Pisot, un nombre de Parry ou un nombre de Bertrand, les propriétés des développements varient.

Système de Pisot

Les suites Pisot-automatiques se comportent dans beaucoup de leurs propriétés comme les suites k-automatiques. Leur propriété la plus importante est que les deux suites admettent des caractérisations en terme de logique du premier ordre. Pour les suite $k$-automatiques, elle est due à Büchi ; pour les suite de Pisot elle a été prouvée par Véronique Bruyère et Georges Hansel. Une présentation est donnée dans le livre de Miche Rigo

Système de Parry

Pour un nombre réel \beta>1, Soit $\beta$ un nombre de Parry, Un système de numération U est un système de Parry s'il existe un nombre de Parry β tel que $U=U_{\beta }$.

Système de Bertrand

Les systèmes de Bertrand ont été introduits et étudiés par Anne Bertrand-Mathys.

Un système de numération $U$ est un système de Bertrand si, pour tout mot non vide $w$ sur $A_{U}$, on a

$w\in \operatorname {rep} _{U}(\mathbb {N} )$ si et seulement si $w0\in \operatorname {rep} _{U}(\mathbb {N} )$.

Le système de numération usuel en base $k$ est un système de Bertrand. De même, le système de numération de Fibonacci usuel ; en revanche, si on considère la suite $F=\{1,3,4,7,\ldots \}$ définie par $F_{0}=1,F_{1}=3,F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n},$ elle n'est plus de Bertrand parce que le nombre 2 est la représentation gloutonne de l'entier 2, et la représentation 20(=2\cdot 3+0) du nombre 6 n'est pas une représentation gloutonne puisque $\operatorname {rep} _{F}(6)=102(=4+2\cdot 1)$.

La caractérisation suivante est due à Anne Bertrand :

Soit $U=(U_{n})$ un système de numération, et soit $F(D_{\beta })$ l'ensemble des facteurs apparaissant dans les β-développements des nomres réels de l'intervalle semi-ouvert [0,1[. U est un système de Bertrand si et seulement s'il existe un nomre réel β>1 tel que $F(D_{\beta })=0^{*}\operatorname {rep} _{U}(\mathbb {N} )$. Dans ce cas, pour $d_{\beta }^{*}((1)=(t_{i})$, le système de numération vérifie la relation de récurrence $U_{n+1}=t_{1}U_{n}+\cdots U_{0}+1$