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Travail scientifique de J.Hoüel

Enseignement et principes fondamentaux de la géométrie et de la trigonométrie

Hoüel travail à l'étude des principes fondamentaux de la géométrie et à l'enseignement de ces derniers. L’examen des traités de géométrie élémentaire existants ne satisfont pas Hoüel. Selon lui, il est nécessaire de remplacer les démonstrations indirectes par des démonstrations directes, de supprimer autant que possible les démonstrations par l’absurde et d'introduire l'idée de limite.

Les axiomes

Hoüel propose une révision délicate des premières propositions d’Euclide. Il s'agit de distinguer d’une façon précise les axiomes d’ordre purement géométrique, de déterminer le rôle de l’expérience dans l’établissement et dans le choix de ces axiomes et enfin d'organiser un enseignement rationnel et progressif de la géométrie. Il publie en 1863 son étude dans Essai d’une exposition rationnelle des principes fondamentaux de la géométrie élémentaire Cet ouvrage est ensuite publié sous une forme plus complète en 1867 et 1885 sous le titre d’Essai critique sur les principes fondamentaux de la géométrie élémentaire, ou Commentaire sur les XXXII premières propositions d’Euclide.

L’existence d’un espace immobile et indéfini, où les corps peuvent être déplacés en conservant toutes leurs propriétés, est admise. La géométrie est fondée sur la notion indéfinissable et expérimentale de l’invariabilité des figures. L’idée d’invariabilité de forme émane de l’expérience. L’hypothèse de l’invariabilité de figure ne peut être assise sur des expériences susceptibles d’une approximation indéfinie et présentant une certitude objective. Celle-ci est acceptée parce qu’elle paraît plus conforme aux impressions physiologiques et qu’elle explique de la façon la plus simple les phénomènes affectant les sens. Hoüel prend alors pour base les axiomes suivants :

• Axiome I. - Trois points suffisent, en général, pour fixer dans l’espace la position d’une figure.
• Axiome II. - Il existe une ligne, appelée ligne droite, dont la position dans l’espace est complètement fixée par les positions de deux quelconques de ses points, et qui est telle que toute portion de cette ligne peut s’appliquer exactement sur une autre portion quelconque, dès que ces deux portions ont deux points communs.
• Axiome III. - Il existe une surface telle qu’une ligne droite, qui passe par deux quelconques de ses points, y est renfermée tout entière, et qu’une portion quelconque de cette surface peut être appliquée exactement sur la surface elle-même, soit directement, soit après qu’on l’a retournée, en lui faisant faire une révolution autour de deux de ses points. Cette surface est le plan.

Il établit ces axiomes en faisant appel à l’expérience et en introduisant l’idée du mouvement abstraction faite du temps employé à l’accomplir, c’est-à-dire l’idée de mouvement géométrique. L’idée de mouvement n’est pas plus complexe que celle de grandeur et d’étendue et c’est à la notion de mouvement qu’on doit l’idée de grandeur.

Hoüel discute la 20e proposition d’Euclide selon laquelle la ligne droite est le plus court chemin d’un point à un autre, proposition que de nombreux auteurs ont choisie comme définition de la ligne droite. Quoique cette vérité puisse être considérée comme une vérité d’expérience, elle est, au point de vue géométrique, assez complexe. Euclide démontre, au lieu de l’admettre, cette proposition qui comprend l’idée de grandeur et de comparaison de la ligne droite à tous les chemins possibles. Hoüel travail alors à plusieurs reprises sur la définition de la longueur d’une courbe et y introduit les notions de limite et d’infiniment petit.

Le quatrième axiome qu’emploi Hoüel correspond au XIe axiome d'Euclide (dit Postulatum d'Euclide) : - Par un point donné on ne peut mener qu’une seule parallèle à une droite donnée. Dés 1863, Hoüel considère la démonstration de cet axiome comme impossible. Hoüel montre que qu'il est possible de prendre un second axiome : - Deux droites de même direction ne peuvent se rencontrer, et sont parallèles. Il admet le postulatum d’Euclide ou bien le remplace par une proposition équivalente. Hoüel publie alors en 1870 une " NOTE : Sur l'impossibilité de démontrer par une construction plane le principe des parallèles, dit Postulatum d'Euclide " dans la revue Nouvelles annales de mathématiques : journal des candidats aux écoles polytechnique et normale.

Les Tables numériques

Hoüel consacre une part de son travail à la construction des tables numériques et à leurs perfectionnements. Il effectue des travaux de correction et d'enrichissement aidé par l'ingénieur Pierre Alexandre Francisce Lefort. Ils publient leurs corrections dans Les Nouvelles Annales de Mathématiques, notamment celles contenue dans la dernière partie de la Table des logarithmes des nombres de Callet, erreurs constatées par collation de la Table de Callet sur les grandes tables du Cadastre.

Tables numériques à cinq décimales

Fondées sur les tables de Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande, les tables numériques de Hoüel permettent de fournir le logarithme d’un nombre ou le nombre correspondant à un logarithme, avec cinq décimales exactes et faire connaître à cinq secondes près un arc donné par le logarithme de son sinus,

Elles comprennent les logarithmes de 1 à 10 000 ainsi que les logarithmes des sinus, cosinus, tangentes et cotangentes de 0 à 45°. Hoüel ajoute aux tables de Joseph Jérôme Lefrançois de Lalande une table de logarithmes d’addition et de soustraction. Il s'agit d'une table destinée à faciliter la recherche du logarithme de la somme ou de la différence de deux nombres connus seulement par leurs logarithmes. Les tables d’addition et de soustraction servent à résoudre simplement ce problème - étant donnés log m et log n, trouver log (m $\pm$ n) -, elles donnent en outre une solution plus approchée.

Hoüel adopter la séparation bien que ses tables fussent à simple entrée et il améliore la disposition de Zech en prenant le nombre C pour argument de la seconde table, dont il diminue l’étendue,sans restreindre le degré d’approximation qu’elle doit fournir.

En 1866, Hoüel publie en complément de ses tables à cinq décimales, son Recueil de formules et de Tables numériques qui est ensuite republier à deux reprises notamment en 1901

Détermination de logarithme à très grand nombre de décimales.

Tout comme Henry Briggs, Hoüel travail et publie des tables sur la détermination des logarithmes contenant un nombre important de décimales. Dans son article " Sur une simplification apportée par M. F. Burnier à la méthode de Flower pour l’usage des Tables de Logarithmes abrégées" paru en 1870 dans la revue Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux VIII , Hoüel donne un exemple d’une table de cette nature (empruntée à Anton Steinhauser) et en explique l’usage. Le problème à résoudre est double. Il s’agit de déterminer le logarithme d’un nombre donné ou bien le nombre correspondant à un logarithme donné. La première question est résolue en 1771 par Flower et Hoüel l’applique à log $\pi$.Burnier simplifie cette méthode et Hoüel donne un exemple numérique de la forme nouvelle alors obtenue.

Dans son Introduction sur la disposition et l’usage de ces tables, Hoüel appuie d’une façon plus particulière sur les fonctions hyperboliques de Lambert, sur les fonctions elliptiques et sur leurs applications.

Unité de mesure

Sa note IV « Sur l’unité angulaire », de l’Essai de Greifswald de 1863, est relative à cette question. Hoüel montre l’avantage que présente le choix du quadrant comme unité d’angle et la division décimale appliquée à celle unité pour le calculateur . Il précise qu'il est nécessaire de construire une série de tables trigonométriques, à un plus ou moins grand nombre de décimales, suivant cette division si une telle mesure est adoptée. Hoüel expose ses vues théoriques et les met en pratique. Il publie des tables pour la réduction du temps en parties décimales du jour. Il rédige une note Sur le choix de l'unité angulaire qui est lue devant l’Académie des sciences par M.d'Abbadie en 1870

Hoüel reprend le travail de l'allemand Schrön sur les tables de logarithmes et les tables de proportion. Il effectue leur traduction et y adjoint ses propres travaux de disposition matérielle des tables et d'ajout d’une table de nombres usuels avec leurs logarithmes.

Les fondements du calcul infinitésimal

Cours de calcul infinitésimal,Jules Houël, Université de Bordeaux, entre 1878 et 1881.

Hoüel étudie les fondements du calcul infinitésimal en lien avec les enseignements qu'il produit à la faculté des sciences de Bordeaux. En 1871, il publie ses cours sous forme autographiés avant qu'ils ne soient typographiés sous le titre de Théorie élémentaire des quantités complexes (Composé de 4 volumes : I-Algèbre des quantités complexes (1867), II-Théorie des fonctions uniformes (1868), III-Théorie des fonctions multiformes (1869) et IV-Théorie des quaternions (1873)). Hoüel en reprend le contenu dans son Cours de calcul infinitésimal (1878-1881) qui est publié sous différentes formes.

"Ce traité est en grande partie la reproduction de mes leçons autographiées ... publiées en 1871 et 1872" - Jules Hoüel, Préface Cours de Calcul infinitésimal, Livre 1.

Dans son introduction, Hoüel s’occupe tout d’abord des principes généraux du calcul des opérations considérées au point de vue le plus abstrait et en ayant égard uniquement à leurs propriétés combinatoires. Elles sont indépendantes de leur nature intrinsèque et de celle des quantités qui leur sont soumises. Ces notions servent de base à l’étude du calcul infinitésimal. Hoüel se penche sur ces questions dans son ouvrage Théorie élémentaire des quantités complexes (IV, Introduction aux Quaternions), pour y revenir encore dans Considérations élémentaires sur la généralisation successive de l'idée de quantité dans l'analyse mathématique en 1883.

Considérant le Calcul des Opérations au point de vue des applications auxquelles il conduit, Hoüel adopte la méthode de Hermann Hankel tout en conservant les notations de Hermann Günther Grassmann. Elles ont l’avantage de se prêter facilement à la généralisation, parce leurs formes ne rappellent aucune des notations usuelles et qu'elles permettent de conserver la disposition habituelle des calcules.

Quantités négatives et des quantités imaginaires.

Cette théorie des quantités négatives et des quantités imaginaires est étudiée par plusieurs mathématiciens tel-que William Rowan Hamilton, de Hermann Günther Grassmann et Hermann Günther Grassmann mais sans démonstrations. En parallèle de ces chercheurs Hoüel à la notion du principe de permanence des règles de calcul. Il reconnait l’impossibilité d’étendre les règles de calcul admises pour les quantités arithmétiques à toute autre quantité que les quantités négatives et complexes.

Hoüel permet la diffusion en France du livre de Jean-Robert Argand Sur une manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques à qui l’on doit une des premières interprétations géométriques des quantités complexes. Il le traduit et le publie précédé d’une notice sur l’auteur.

Autres travaux

A la fois traducteur, mathématicien, chercheur, Hoüel participe à de nombreux projets. Il agit activement à la diffusion en France de la théorie des déterminants dont l’origine remonte à Leibniz. De même, il introduit la méthode de Giusto Bellavitis connue sous le nom de calcul des équipollences qu'il publie dans Les Nouvelles Annales de Mathématiques.

Il développe l’idée de quantité complexe, formée avec deux ou avec plusieurs unités linéairement indépendantes. Elle est publiée dans Procès-Verbaux des Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux et dans Théorie des quantités complexes.

Hoüel compile également des tables de notation et travail sur les perturbations planétaires.

Le fonds Jules Houël

Sa bibliothèque personnelle

Lettre de correspondance, 20/02/1867. Bibliothèque de J.Houël

Se constituant un vaste réseau personnel de correspondants et en tant que rédacteur du Bulletin des sciences mathématiques et astronomiques et des Mémoires de la Société des sciences physiques et naturelles de Bordeaux, Jules Houël se créé une collection importante de publications écrites (articles, ouvrages, notes, thèses, ...) de ses contemporains qui les lui adressent. Il collecte également tout au long de sa vie des ouvrages de tables de logarithmes de diverses époques (du XVI° au XIX°s) ainsi que des traités de géométrie et d'astronomie.

Il compile de 1823 à 1886 sur une liste, les recueils, mémoires, thèses qu'il obtient grâce à sa correspondance et qu'il conserve dans sa bibliothèque. Il tient à jours une liste de ces références dans un ouvrage Catalogue manuscrit des Mémoires scientifiques rassemblés par Jules Houël (Sans titre, cette liste est nommée par la faculté de Bordeaux).

Catalogue manuscrit des Mémoires scientifiques rassemblés par Jules Houël. Compilation entre 1823 et 1886

Le fonds Jules Houël à l’Université de Bordeaux

A sa mort, sa famille lègue à l’Université de Bordeaux les 719 ouvrages de sa bibliothèque, constituant le Fonds Houël. Ce fonds est actuellement conservé à la Bibliothèque Universitaire des Sciences et Techniques de l’Université de Bordeaux. Afin de valoriser ce fonds l'Université de Bordeaux a entreprit de le numériser et de le rendre accessible sur Babordnum. De même les ouvrages de sa bibliothèque, tamponnés « Bibliothèque de M. Houël », sont en cours de numérisation.

24 ouvrages ont été numérisés et sont présentés sur Babordnum:

• Antoine d'Abbadie, Résumé géodésique des positions déterminées en Éthiopie, Leipzig, 1859, 38 p.

• Antoine d'Abbadie, Instruments à employer en voyage et manière de s'en servir, Paris, 1878, 48 p. (lire en ligne)
• Antoine d'Abbadie, Sur la Latitude d'Abbadia, près de Hendaye (Basses-Pyrénées), Paris, Gauthier-Villars, 1875, 7 p. (lire en ligne)
• Antoine D'Abbadie, Sur la division décimale de l'angle du temps, Paris, Gauthier-Villars, 1870, 4 p. (lire en ligne)
• Antoine d'Abbadie, Étude sur la verticale, Bordeaux, Gounoulhiou, 1872, 11 p. (lire en ligne)
• Antoine d'Abbadie, Sur quelques desiderata de l'astronomie, Bruxelles, 1881, 16 p. (lire en ligne)

• (la) Farkas et János Bolyai, Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi, Maros Vasarhelyini, J. & S. Kali, 1832 (lire en ligne)
• (la) Farkas et János Bolyai, Tentamen juventutem studiosam in elementa matheseos purae, elementaris ac sublimioris, methodo intuitiva, evidentiaque huic propria, introducendi, Maros Vásárhelyini, Kali, 1833 (lire en ligne)
• B. Bramer, Apollonius Cattus, oder Kern der Gauze Geometriae, in drey Theil B. Bramer. IIte theil : De sectione cylindri, Cassel, Johann Ingebrand, 1684 (lire en ligne)
• B. Bramer, Apollonius Cattus, oder Kern der Gauze Geometriae, in drey Theil B. Bramer. Erste theil : Demonstrationes Euclidis geometrische, Cassel, Johann Ingebrand, 1684 (lire en ligne)
• B. Bramer, Apollonius Cattus, oder Kern der Gauze Geometriae, in drey Theil B. Bramer. IIIte theil : Bericht zu Jobst Burgi Triangular Instrument, Cassel, Johann Ingebrand, 1684 (lire en ligne)
• John Napier, Henry Briggs, Arithmétique logarithmetique, ou la Construction & usage d'une table contenant les logarithmes de tous les nombres depuis l'unité jusques à 100 000 et d'une autre table en laquelle sont comprins les logarithmes des tangentes & secantes, de tous les degrez et minutes du quart du cercle, selon le raid de 10,00000,00000, Goude, P. Rammasein, 1628 (lire en ligne)
• Georges Brunel, Notice sur l'influence scientifique de Guillaume-Jules Houël, professeur honoraire à la Faculté des sciences de Bordeaux, Bordeaux, impr. de G. Gounouilhou, 1888, 78 p. (lire en ligne)

• (la) Pierre Gassendi, Tychonis Brahei, equitis dani, astronomorum coryphaei vita., Paris, Mathurini Dupuis, 1654 (lire en ligne)

• Jules Houël, Catalogue manuscrit des Mémoires scientifiques rassemblés par Jules Houël, 1886, 321 p.
• Jules Houël, Théorie élémentaire des quantités complexes (IV, Introduction aux Quaternions), Paris, Gauthier-Villars, 1873, 298 p.
• Jules Houël, Cours de calcul infinitésimal, professé à la Faculté des Sciences de Bordeaux. Seconde Partie suivie d'un Appendice sur la Théorie des quantités complexes, Paris , Bordeaux, Gauthier-Villars , P. Chaumas, 1872 (lire en ligne)
• Jules Houël, Résumé des leçons de calcul infinitésimal, professées à la Faculté des Sciences de Bordeaux. Première partie, Paris, Bordeaux, Gauthier-Villars, P. Chaumas, 1871 (lire en ligne)

• Pierre Cyprien Oré, Thèses pour le doctorat ès-sciences naturelles soutenues... : 1re Thèse : Recherches expérimentales sur la transfusion du sang. 2e Thèse : Expériences sur la production des algues inférieures dans les infusions de matières organiques, Bordeaux, G. Gounouilhou, 1865, 57 p. (lire en ligne)
• (la) Lucius Valentinus Otho, Georg Joachim Rhetikus, Opus palatinum de triangulis a Georgio Joachimo Rhetico coeptum, L. Valentinus Otho principis palatini Friderici IV electoris mathematicus consummavit, Neustadt, Matthäus Harnisch, 1592 (lire en ligne)

• Georges Rayet, Histoire de la Faculté des sciences de Bordeaux (1838-1894), Paris, E. Dentu, 1897, 369 p. (lire en ligne)

• (la) Grégoire de Saint-Vincent, R.P. Gregorii à Sto. Vincentio ex societate Iesu opus geometricorum posthumum ad mesolabium per rationum proportionalium novas proprietates. Finem operis mors authoris antevertit., Gandavi, 1668 (lire en ligne)

• Niccolò Tartaglia, L'arithmetique de Nicolas Tartaglia Brescian, grand mathematicien, et prince des praticiens., Paris, Gilles Beys, 1578 (lire en ligne)

• George Auguste Vorsterman van Oyen, Quelques arpenteurs hollandais de la fin du XVIme et du commencement du XVIIme siècle et leurs instruments, Rome, Imprimerie des sciences mathématiques et physiques, 1870, 54 p. (lire en ligne)

BIBLIO QUE ON PEUT UTILISER

F. Plantade (2012) "Jules Houël, un mathématicien humaniste au service de la science et de la France" Miroir des Maths, IREM de Basse-Normandie, vol.10, p. (https://irem.unicaen.fr/IMG/pdf/miroir10.pdf)

Houël, Jules (1823-1886), Notice : Identifiants et Référenciels pour l'enseignement supérieur et la recherche, 2015 ( https://www.idref.fr/03074735X#390)

SOURCES ET LIRE EN LIGNE