Démonstration du théorème de Pascal dans le cercle par le théorème de Ménélaüs et la puissance d'un point par rapport à un cercle

Théorème de Pascal

On suppose ici que les 2 triplets de points distincts ( $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ ) d'une part, ( $A_{2}$ , $B_{2}$ , $C_{2}$ ) d'autre part, sont disposés non sur deux droites distinctes (théorème de Pappus) mais sur un cercle de centre $O$ .

On ajoute comme condition que $(B_{2}C_{1})$ et $(C_{2}B_{1})$ sont sécantes (en $A$ ), ainsi que $(A_{2}C_{1})$ et $(C_{2}A_{1})$ (en $B$ ), et que $(A_{2}B_{1})$ et $(B_{2}A_{1})$ (en $C$ ).

Le théorème de Pascal déclare que $A$ , $B$ et $C$ sont alignés.

En voici une démonstration directe en géométrie affine, moyennant quelques conditions supplémentaires, à savoir que $(A_{2}B_{1})$ et $(B_{2}C_{1})$ sont sécantes en $J_{1}$ , $(A_{2}B_{1})$ et $(A_{1}C_{2})$ en $K_{1}$ et $(B_{2}C_{1})$ et $(A_{1}C_{2})$ en $L_{1}$ .

Les trois points ainsi définis sont alors distincts et non alignés et définissent le triangle $J_{1}K_{1}L_{1}$ (en bleu sur la figure).

Calcul de la puissance d'un point par rapport à un cercle de centre $O$ ) :

Les droites $(A_{2}B_{1})$ et $(B_{2}C_{1})$ issues de $J_{1}$ coupent le cercle de centre $O$ respectivement en $A_{2}$ , $B_{1}$ , $B_{2}$ et $C_{1}$ .
Les droites $(A_{2}B_{1})$ et $(A_{1}C_{2})$ issues de $K_{1}$ coupent le cercle de centre $O$ respectivement en $A_{2}$ , $B_{1}$ , $A_{1}$ et $C_{2}$ .
Les droites $(B_{2}C_{1})$ et $(A_{1}C_{2})$ issues de $L_{1}$ coupent le cercle de centre $O$ respectivement en $B_{2}$ , $C_{1}$ , $A_{1}$ et $C_{2}$ .

La constance de la puissance des points $J_{1}$ , $K_{1}$ et $L_{1}$ par rapport au cercle de centre $O$ ) se traduit par les égalités suivantes :

{\overline {B_{1}J_{1}}}\times {\overline {A_{2}J_{1}}}={\overline {C_{1}J_{1}}}\times {\overline {B_{2}J_{1}}}=1

donc

{\frac {\overline {B_{1}J_{1}}}{\overline {C_{1}J_{1}}}}\times {\frac {\overline {A_{2}J_{1}}}{\overline {B_{2}J_{1}}}}=1

(1)

{\overline {A_{1}K_{1}}}\times {\overline {C_{2}K_{1}}}={\overline {A_{2}K_{1}}}\times {\overline {B_{1}K_{1}}}=1

donc

{\frac {\overline {A_{1}K_{1}}}{\overline {A_{2}K_{1}}}}\times {\frac {\overline {C_{2}K_{1}}}{\overline {B_{1}K_{1}}}}=1

(2)

{\overline {B_{2}L_{1}}}\times {\overline {C_{1}L_{1}}}={\overline {A_{1}L_{1}}}\times {\overline {C_{2}L_{1}}}=1

donc

{\frac {\overline {B_{2}L_{1}}}{\overline {A_{1}L_{1}}}}\times {\frac {\overline {C_{1}L_{1}}}{\overline {C_{2}L_{1}}}}=1

(3)

Alignements de points et théorème de Ménélaüs :

La droite $(B_{1}C_{2})$ intersecte les trois côtés du triangle $J_{1}K_{1}L_{1}$ en $B_{1}$ , $A$ , $C_{2}$ .
La droite $(A_{2}C_{1})$ intersecte les trois côtés du triangle $J_{1}K_{1}L_{1}$ en $A_{2}$ , $B$ , $C_{1}$ .
La droite $(A_{1}B_{2})$ intersecte les trois côtés du triangle $J_{1}K_{1}L_{1}$ en $A_{1}$ , $C$ , $B_{2}$ .

D'après Ménélaüs, ces alignements se traduisent par les égalités suivantes :

{\frac {\overline {B_{1}K_{1}}}{\overline {B_{1}J_{1}}}}\times {\frac {\overline {AJ_{1}}}{\overline {AL_{1}}}}\times {\frac {\overline {C_{2}L_{1}}}{\overline {C_{2}K_{1}}}}=1

(4)

{\frac {\overline {A_{2}K_{1}}}{\overline {A_{2}J_{1}}}}\times {\frac {\overline {BL_{1}}}{\overline {BK_{1}}}}\times {\frac {\overline {C_{1}J_{1}}}{\overline {C_{1}L_{1}}}}=1

(5)

{\frac {\overline {A_{1}L_{1}}}{\overline {A_{1}K_{1}}}}\times {\frac {\overline {CK_{1}}}{\overline {CJ_{1}}}}\times {\frac {\overline {B_{2}J_{1}}}{\overline {B_{2}L_{1}}}}=1

(6)

En multipliant membre à membre ces six égalités, il reste après simplification :

{\frac {\overline {AJ_{1}}}{\overline {AL_{1}}}}\times {\frac {\overline {BL_{1}}}{\overline {BK_{1}}}}\times {\frac {\overline {CK_{1}}}{\overline {CJ_{1}}}}=1

ce qui prouve d'après la réciproque de Ménélaüs l'alignement des trois points $A$ , $B$ et $C$ .

Une démonstration analogue peut être faite, en modifiant les conditions supplémentaires, avec le triangle $J_{2}K_{2}L_{2}$ (en rouge sur la figure). Dans ce cas, les trois droites $(B_{1}C_{2})$ , $(A_{2}C_{1})$ et $(A_{1}B_{2})$ (en rouge sur la figure) échangent leur rôle avec les trois droites $(B_{2}C_{1})$ , $(A_{1}C_{2})$ et $(A_{2}B_{1})$ (en bleu sur la figure).

Résolution des équations algébriques par la méthode de Lagrange

Introduction

Extrait de "Résolution des équations algébriques de degré 3 et 4" par A. Marrakchi (http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/les-mathematiques-de-galois/resolution-des-equations-algebriques-de-degre-3-et-4/) :
"Lagrange développe une réflexion générale sur la résolution des équations en étudiant comment se transforment certaines quantités exprimées en fonctions des racines d’un polynôme lorsqu’on permute ces racines."
...
"Lagrange fait la remarque suivante : lorsqu’on cherche à résoudre une équation dont les racines sont $r_{1},r_{2},...,r_{n}$ et que l’on forme une certaine quantité $t$ en fonction de ces racines $t=f(r_{1},r_{2},...,r_{n})$ alors $t$ est très facile à calculer en fonctions des coefficients de l’équation lorsque... $f$ est symétrique en les racines $r_{i}$ . Dans ce cas, lorsqu’on permute les racines $r_{i}$ entre elles, l’expression $t=f(r_{1},r_{2},...,r_{n})$ garde une valeur constante. Parallèlement, lorsque $f$ est très peu symétrique, par exemple lorsque $t=r_{1}-r_{3}$ , alors $t$ peut être très difficile à calculer. Cette fois, lorsqu’on permute les racines $r_{i}$ , $t$ peut potentiellement prendre de nombreuses valeurs différentes. Par exemple, pour $n=3$ , $t$ peut prendre les valeurs $r_{1}-r_{3}$ , $r_{2}-r_{3}$ , $r_{1}-r_{2}$ , $r_{2}-r_{1}$ , $r_{3}-r_{1}$ et $r_{3}-r_{2}$ . Nous avons peu d’espoir d’arriver à calculer directement une quantité $t$ peu symétrique (typiquement lorsque $t$ est une racine) et calculer des quantités totalement symétriques est certes facile, mais ne fait pas vraiment avancer le problème. L’idée de Lagrange est d’essayer de former une quantité qui soit à la fois assez symétrique, dans l’espoir qu’elle ne prenne qu’un nombre petit de valeurs et donc qu’elle soit assez facilement calculable, et à la fois pas trop symétrique, dans l’espoir que les racines pourront être exprimées à partir de cette quantité. De telles quantités sont appelées des résolvantes de Lagrange."

Synoptique

Degré	2	3	4
Equation	$x^{2}+Ax+B=0$	$x^{3}+Ax^{2}+Bx+C=0$	$x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0$
Relations racines-coefficients	$r_{1}+r_{2}=-A$ $r_{1}r_{2}=B$	$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-A$ $r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=B$ $r_{1}r_{2}r_{3}=-C$	$r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=-A$ $r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{1}r_{4}+r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+r_{3}r_{4}=B$ $r_{1}r_{2}r_{3}+r_{1}r_{2}r_{4}+r_{1}r_{3}r_{4}+r_{2}r_{3}r_{4}=-C$ $r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}=D$
Quantités définies à partir des racines	$T(\sigma )=r_{\sigma (1)}-r_{\sigma (2)}$ où $\sigma$ est une permutation des 2 premiers entiers	$U(\sigma )=r_{\sigma (1)}+jr_{\sigma (2)}+j^{2}r_{\sigma (3)}$ $V(\sigma )=r_{\sigma (1)}+j^{2}r_{\sigma (2)}+jr_{\sigma (3)}$ où $\sigma$ est une permutation des 3 premiers entiers	$X(\sigma )=r_{\sigma (1)}r_{\sigma (2)}+r_{\sigma (3)}r_{\sigma (4)}$ $Y(\sigma )=r_{\sigma (1)}r_{\sigma (3)}+r_{\sigma (2)}r_{\sigma (4)}$ $Z(\sigma )=r_{\sigma (1)}r_{\sigma (4)}+r_{\sigma (2)}r_{\sigma (3)}$ où $\sigma$ est une permutation des 4 premiers entiers
Nombre de valeurs possibles quand les racines permutent	2	6	6
Résolvantes de Lagrange	$T^{2}(\sigma )$	$U^{3}(\sigma )$ et $V^{3}(\sigma )$	$X(\sigma )$ , $Y(\sigma )$ et $Z(\sigma )$
Nombre de valeurs possibles quand les racines permutent	1	2	3
Quantités symétriques à partir des résolvantes	$T^{2}(\sigma )=A^{2}-4B$	$S=U^{3}(\sigma )+V^{3}(\sigma )=-2A^{3}+9AB-27C$ $P=U^{3}(\sigma )V^{3}(\sigma )=(A^{2}-3B)^{3}$	$S=X(\sigma )+Y(\sigma )+Z(\sigma )=B$ $T=X(\sigma )Y(\sigma )+X(\sigma )Z(\sigma )+Y(\sigma )Z(\sigma )=AC-4D$ $P=X(\sigma )Y(\sigma )Z(\sigma )=A^{2}D-4BD+C^{2}$
Equation résolvante		$x^{2}-Sx+P=0$	$x^{3}-Sx^{2}+Tx-P=0$
Racines de l'équation résolvante		$U^{3}(\sigma )$ et $V^{3}(\sigma )$	$X(\sigma )$ , $Y(\sigma )$ et $Z(\sigma )$
Etape intermédiaire	$T(\sigma )={\sqrt {A^{2}-4B}}$ , une des 2 racines carrées de $T^{2}$	$U(\sigma )={\sqrt[{3}]{(S\pm {\sqrt {S^{2}-4P}})/2}}$ , une des racines cubiques non nulles de $U^{3}(\sigma )$ ou $V^{3}(\sigma )$ $V(\sigma )=(A^{2}-3B)/U(\sigma )$	$P_{\sigma (1)\sigma (2)}=r_{\sigma (1)}r_{\sigma (2)}=(X(\sigma )+{\sqrt {X^{2}(\sigma )-4D}})/2$ $P_{\sigma (3)\sigma (4)}=r_{\sigma (3)}r_{\sigma (4)}=(X(\sigma )-{\sqrt {X^{2}(\sigma )-4D}})/2$ $S_{\sigma (1)\sigma (2)}=r_{\sigma (1)}+r_{\sigma (2)}=(-P_{\sigma (1)\sigma (2)}A+C)/(P_{\sigma (1)\sigma (2)}-P_{\sigma (3)\sigma (4)})$ $S_{\sigma (3)\sigma (4)}=r_{\sigma (3)}+r_{\sigma (4)}=(P_{\sigma (3)\sigma (4)}A-C)/(P_{\sigma (1)\sigma (2)}-P_{\sigma (3)\sigma (4)})$
Racines de l'équation initiale	$r_{\sigma (1)}=(-A+T(\sigma ))/2$ $r_{\sigma (2)}=(-A-T(\sigma ))/2$	$r_{\sigma (1)}=(-A+U(\sigma )+V(\sigma ))/3$ $r_{\sigma (2)}=(-A+j^{2}U(\sigma )+jV(\sigma ))/3$ $r_{\sigma (3)}=(-A+jU(\sigma )+j^{2}V(\sigma ))/3$	$r_{\sigma (1)}=(S_{\sigma (1)\sigma (2)}+{\sqrt {S_{\sigma (1)\sigma (2)}^{2}-4P_{\sigma (1)\sigma (2)}}})/2$ $r_{\sigma (2)}=(S_{\sigma (1)\sigma (2)}-{\sqrt {S_{\sigma (1)\sigma (2)}^{2}-4P_{\sigma (1)\sigma (2)}}})/2$ $r_{\sigma (3)}=(S_{\sigma (3)\sigma (4)}+{\sqrt {S_{\sigma (3)\sigma (4)}^{2}-4P_{\sigma (3)\sigma (4)}}})/2$ $r_{\sigma (4)}=(S_{\sigma (3)\sigma (4)}-{\sqrt {S_{\sigma (3)\sigma (4)}^{2}-4P_{\sigma (3)\sigma (4)}}})/2$

Résolution de l’équation polynomiale de degré 2

Formules

Soit l'équation polyomiale de degré 2 à coefficients complexes :

x^{2}+Ax+B=0

Les 2 racines sont :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}=(-A+{\sqrt {A^{2}-4B}})/2\\\ &r_{2}=(-A-{\sqrt {A^{2}-4B}})/2\end{aligned}}\right.

Principes de la méthode

L'équation admet 2 racines complexes $r_{1}$ et $r_{2}$ qui vérifient :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}+r_{2}=-A\\\ &r_{1}r_{2}=B\end{aligned}}\right.

Introduisons la variable $T=r_{1}-r_{2}$ .

$T$ n'est pas une fonction symétrique de $r_{1}$ et $r_{2}$ mais $T^{2}$ l'est.

On exprime $T^{2}$ en fonction des coefficents de l'équation. $T^{2}=(r_{1}-r_{2})^{2}=(r_{1}+r_{2})^{2}-4r_{1}r_{2}=A^{2}-4B$

$T$ peut prendre 2 valeurs. On choisit arbitrairement $T={\sqrt {A^{2}-4B}}$ . Le choix de l'autre valeur inverserait le rôle de $r_{1}$ et $r_{2}$ .

On résout ensuite le système linéaire de 2 équations à 2 inconnues :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}+r_{2}=-A\\\ &r_{1}-r_{2}=T\end{aligned}}\right.

Les solutions sont :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}=(-A+T)/2\\\ &r_{2}=(-A-T)/2\end{aligned}}\right.

Résolution de l’équation polynomiale de degré 3

Formules

Soit l'équation polyomiale de degré 3 à coefficients complexes :

x^{3}+Ax^{2}+Bx+C=0

Posons :

$S=-2A^{3}+9AB-27C$
$P=(A^{2}-3B)^{3}$
$U$ l'une quelconque des racines cubiques non nulles de $(S+{\sqrt {S^{2}-4P}})/2$ ou $(S-{\sqrt {S^{2}-4P}})/2$
$V=(A^{2}-3B)/U$

Les 3 racines de l'équation sont :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}=(-A+U+V)/3\\\ &r_{2}=(-A+j^{2}U+jV)/3\\\ &r_{3}=(-A+jU+j^{2}V)/3\end{aligned}}\right.

Principes de la méthode

L'équation admet 3 racines complexes $r_{1}$ , $r_{2}$ et $r_{3}$ qui vérifient :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}+r_{2}+r_{3}=-A\\\ &r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}=B\\\ &r_{1}r_{2}r_{3}=-C\end{aligned}}\right.

Les racines cubiques de l'unité sont $1$ , $j$ et $j^{2}$ .

Introduisons la fonction suivante des 3 racines $r_{1}$ , $r_{2}$ et $r_{3}$ :

U(r_{1},r_{2},r_{3})=r_{1}+jr_{2}+j^{2}r_{3}

Introduisons une deuxième fonction correspondant à la transposition de $r_{2}$ et $r_{3}$ dans la définition de $U$ :

V(r_{1},r_{2},r_{3})=r_{1}+j^{2}r_{2}+jr_{3}

Si l'on considère les 6 permutations des 3 racines $r_{1}$ , $r_{2}$ et $r_{3}$ , ces 2 fonctions peuvent prendre 6 valeurs appartenant à un même ensemble de 6 éléments.

Un premier sous-ensemble de trois valeurs est obtenu par permutations circulaires dans la définition de $U$ :

U_{1}=r_{1}+jr_{2}+j^{2}r_{3}

U_{2}=r_{2}+jr_{3}+j^{2}r_{1}=j^{2}U_{1}

U_{3}=r_{3}+jr_{1}+j^{2}r_{2}=jU_{1}

Un deuxième sous-ensemble de trois valeurs est obtenu par permutations circulaires dans la définition de $V$ :

V_{1}=r_{1}+j^{2}r_{2}+jr_{3}

V_{2}=r_{2}+j^{2}r_{3}+jr_{1}=jV_{1}

V_{3}=r_{3}+j^{2}r_{1}+jr_{2}=j^{2}V_{1}

Au sein de ces 2 sous-ensembles, la fonction "cube" est invariante : $U_{1}^{3}=U_{2}^{3}=U_{3}^{3}$ et $V_{1}^{3}=V_{2}^{3}=V_{3}^{3}$ .

Ainsi, au sein de l'ensemble des 6 valeurs, la fonction "cube" prend 2 valeurs.

$U^{3}V^{3}$ et $U^{3}+V^{3}$ sont des fonctions symétriques des racines $r_{1}$ , $r_{2}$ et $r_{3}$ : elles prennent toujours la même valeur, quelle que soit la permutation des racines.

On remarque aussi que $U_{2}V_{2}=j^{2}U_{1}jV_{1}=U_{1}V_{1}$ et que $U_{3}V_{3}=jU_{1}j^{2}V_{1}=U_{1}V_{1}$ . La fonction $UV$ est donc elle-aussi une fonction symétrique des racines.

On doit pouvoir les exprimer en fonction des coefficients de l'équation $A$ , $B$ et $C$ . En effet :

UV=A^{2}-3B

U^{3}V^{3}=(A^{2}-3B)^{3}

U^{3}+V^{3}=-2A^{3}+9AB-27C

Expression de $U^{3}V^{3}$ en fonction des coefficients $A$ , $B$ et $C$

En utilisant la relation liant les racines cubiques de l'unité $1+j+j^{2}=0$ , il vient :

{\begin{aligned}UV=\ &(r_{1}+jr_{2}+j^{2}r_{3})(r_{1}+j^{2}r_{2}+jr_{3})\\=\ &r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}-r_{1}r_{2}-r_{1}r_{3}-r_{2}r_{3}\\=\ &(r_{1}+r_{2}+r_{3})^{2}-3(r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3})\\=\ &A^{2}-3B\end{aligned}}

U^{3}V^{3}=(A^{2}-3B)^{3}

Expression de $U^{3}+V^{3}$ en fonction des coefficients $A$ , $B$ et $C$

{\begin{aligned}U^{3}=\ &(r_{1}+jr_{2}+j^{2}r_{3})^{3}\\=\ &r_{1}^{3}+r_{2}^{3}+r_{3}^{3}+3(jr_{1}^{2}r_{2}+j^{2}r_{1}^{2}r_{3}+j^{2}r_{1}r_{2}^{2}+jr_{1}r_{3}^{2}+jr_{2}^{2}r_{3}+j^{2}r_{2}r_{3}^{2})+6r_{1}r_{2}r_{3}\end{aligned}}

{\begin{aligned}V^{3}=\ &(r_{1}+jr_{3}+j^{2}r_{2})^{3}\\=\ &r_{1}^{3}+r_{3}^{3}+r_{2}^{3}+3(jr_{1}^{2}r_{3}+j^{2}r_{1}^{2}r_{2}+j^{2}r_{1}r_{3}^{2}+jr_{1}r_{2}^{2}+jr_{3}^{2}r_{2}+j^{2}r_{3}r_{2}^{2})+6r_{1}r_{3}r_{2}\end{aligned}}

En sommant ces deux égalités et en utilisant la relation liant les racines cubiques de l'unité $1+j+j^{2}=0$ , il vient :

U^{3}+V^{3}=2D-3E-12C

avec :

D=r_{1}^{3}+r_{2}^{3}+r_{3}^{3}

E=r_{1}^{2}r_{2}+r_{1}^{2}r_{3}+r_{1}r_{2}^{2}+r_{1}r_{3}^{2}+r_{2}^{2}r_{3}+r_{2}r_{3}^{2}

Exprimons $E$ et $D$ en fonction des coefficients $A$ , $B$ et $C$ :

{\begin{aligned}E=\ &(r_{1}+r_{2}+r_{3})(r_{1}r_{2}+r_{2}r_{3}+r_{3}r_{1})-3r_{1}r_{2}r_{3}\\=\ &-AB+3C\\D=\ &(r_{1}+r_{2}+r_{3})^{3}-3(r_{1}^{2}r_{2}+r_{1}^{2}r_{3}+r_{1}r_{2}^{2}+r_{1}r_{3}^{2}+r_{2}^{2}r_{3}+r_{2}r_{3}^{2})-6r_{1}r_{2}r_{3}\\=\ &-A^{3}-3E+6C\\=\ &-A^{3}-3(-AB+3C)+6C\\=\ &-A^{3}+3AB-3C\end{aligned}}

On en déduit que :

{\begin{aligned}U^{3}+V^{3}=\ &2D-3E-12C\\=\ &2(-A^{3}+3AB-3C)-3(-AB+3C)-12C\\=\ &-2A^{3}+9AB-27C\end{aligned}}

Détermination de $U^{3}$ et $V^{3}$

Connaissant leur somme $S=-2A^{3}+9AB-27C$ et leur produit $P=(A^{2}-3B)^{3}$ , on trouve $U^{3}$ et $V^{3}$ en résolvant l'équation de degré 2 suivante :

x^{2}-Sx+P=0

On peut arbitrairement associer $U^{3}$ à une racine de cette équation et $V^{3}$ à l'autre racine de l'équation :

U^{3}=(S+{\sqrt {S^{2}-4P}})/2

V^{3}=(S-{\sqrt {S^{2}-4P}})/2

Le choix inverse reviendrait à inverser le rôle de $r_{2}$ et $r_{3}$ (cf. définition de $U$ et $V$ ).

Détermination de $U$ et $V$

Les 3 racines cubiques de $U^{3}$ donnent $U_{1}$ , $U_{2}$ et $U_{3}$ . On peut associer aribrairement $U_{1}$ à l'une des trois racines. Les deux autres choix reviendraient à permuter les rôles de $r_{1}$ , $r_{2}$ et $r_{3}$ (cf. définitions de $U_{1}$ , $U_{2}$ et $U_{3}$ ).

Pour déterminer les valeurs de $V$ , il n'est pas nécessaire de calculer les 3 racines cubiques de $V^{3}$ . En effet, il suffit d'utiliser la relation démontrée plus haut : $UV=A^{2}-3B$ . Ainsi $V_{1}=(A^{2}-3B)/U_{1}$ . Attention ! Traiter le cas particulier où $U_{1}=0$ .

Calcul final de $r_{1}$ , $r_{2}$ et $r_{3}$

Pour déterminer $r_{1}$ , $r_{2}$ et $r_{3}$ , il faut maintenant résoudre un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}+r_{2}+r_{3}=-A\\\ &r_{1}+jr_{2}+j^{2}r_{3}=U_{1}\\\ &r_{1}+j^{2}r_{2}+jr_{3}=V_{1}\end{aligned}}\right.

Soit :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}=(-A+U_{1}+V_{1})/3\\\ &r_{2}=(-A+j^{2}U_{1}+jV_{1})/3=(-A+U_{2}+V_{2})/3\\\ &r_{3}=(-A+jU_{1}+j^{2}V_{1})/3=(-A+U_{3}+V_{3})/3\end{aligned}}\right.

Résolution de l’équation polynomiale de degré 4

Formules

Soit l'équation polyomiale de degré 4 à coefficients complexes :

x^{4}+Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D=0

Posons :

$A'=-B$
$B'=AC-4D$
$C'=-A^{2}D+4BD-C^{2}$
$X$ est une des 3 racines de l'équation de dégré 3 suivante :
$x^{3}+A'x^{2}+B'x+C'=0$
$P_{12}=(X+{\sqrt {X^{2}-4D}})/2$
$P_{34}=(X-{\sqrt {X^{2}-4D}})/2$
$S_{12}=(-P_{12}A+C)/(P_{12}-P_{34})$
$S_{34}=(AP_{34}-C)/(P_{12}-P_{34})$

Les 4 racines de l'équation sont :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}=(S_{12}+{\sqrt {S_{12}^{2}-4P_{12}}})/2\\\ &r_{2}=(S_{12}-{\sqrt {S_{12}^{2}-4P_{12}}})/2\\\ &r_{3}=(S_{34}+{\sqrt {S_{34}^{2}-4P_{34}}})/2\\\ &r_{4}=(S_{34}-{\sqrt {S_{34}^{2}-4P_{34}}})/2\end{aligned}}\right.

Principes de la méthode

L'équation admet 4 racines complexes $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ et $r_{4}$ qui vérifient :

\left\{{\begin{aligned}\ &r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=-A\\\ &r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{1}r_{4}+r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+r_{3}r_{4}=B\\\ &r_{1}r_{2}r_{3}+r_{1}r_{2}r_{4}+r_{1}r_{3}r_{4}+r_{2}r_{3}r_{4}=-C\\\ &r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}=D\end{aligned}}\right.

Introduisons la fonction suivante des 4 racines $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ et $r_{4}$ :

X(r_{1},r_{2},r_{3},r_{4})=r_{1}r_{2}+r_{3}r_{4}

Introduisons une deuxième fonction correspondant à la transposition de $r_{2}$ et $r_{3}$ dans la définition de $X$ :

Y(r_{1},r_{2},r_{3},r_{4})=r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4}

Introduisons une troisième fonction correspondant à la transposition de $r_{2}$ et $r_{4}$ dans la définition de $X$ :

Z(r_{1},r_{2},r_{3},r_{4})=r_{1}r_{4}+r_{2}r_{3}

Si l'on considère les 24 permutations des 4 racines $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ et $r_{4}$ , ces 3 fonctions peuvent prendre 3 valeurs appartenant à un même ensemble de 3 éléments. Pour une permutation donnée, les fonctions $X$ , $Y$ et $Z$ prennent 3 valeurs distinctes.

Les fonctions suivantes:

A'=-(X+Y+Z)

,

B'=XY+XZ+VZ

,

C'=-XYZ

sont donc des fonctions symétriques des racines $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ et $r_{4}$ .

On doit pouvoir exprimer $A'$ , $B'$ et $C'$ en fonction des coefficients de l'équation $A$ , $B$ , $C$ et $D$ . En effet :

A'=-B

B'=AC-4D

,

C'=-A^{2}D+4BD-C^{2}

{\begin{aligned}-A'=\ &X+Y+Z\\=\ &r_{1}r_{2}+r_{3}r_{4}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4}+r_{1}r_{4}+r_{2}r_{3}\\=\ &B\end{aligned}}

{\begin{aligned}B'=\ &XY+XZ+YZ\\=\ &r_{1}^{2}r_{2}r_{3}+r_{1}r_{2}^{2}r_{4}+r_{1}r_{3}^{2}r_{4}+r_{2}r_{3}r_{4}^{2}\\+\ &r_{1}^{2}r_{2}r_{4}+r_{1}r_{2}^{2}r_{3}+r_{1}r_{3}r_{4}^{2}+r_{2}r_{3}^{2}r_{4}\\+\ &r_{1}^{2}r_{3}r_{4}+r_{1}r_{2}r_{3}^{2}+r_{1}r_{2}r_{4}^{2}+r_{2}^{2}r_{3}r_{4}\\=\ &r_{1}(r_{1}r_{2}r_{3}+r_{1}r_{2}r_{4}+r_{1}r_{3}r_{4})\\+\ &r_{2}(r_{1}r_{2}r_{3}+r_{1}r_{2}r_{4}+r_{2}r_{3}r_{4})\\+\ &r_{3}(r_{1}r_{2}r_{3}+r_{1}r_{3}r_{4}+r_{2}r_{3}r_{4})\\+\ &r_{4}(r_{1}r_{2}r_{4}+r_{1}r_{3}r_{4}+r_{2}r_{3}r_{4})\\=\ &r_{1}(-C-r_{2}r_{3}r_{4})\\+\ &r_{2}(-C-r_{1}r_{3}r_{4})\\+\ &r_{3}(-C-r_{1}r_{2}r_{4})\\+\ &r_{4}(-C-r_{1}r_{2}r_{3})\\=\ &-C(r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4})-4r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}\\=\ &AC-4D\end{aligned}}

{\begin{aligned}-C'=\ &XYZ\\=\ &(r_{1}^{2}r_{2}r_{3}+r_{1}r_{2}^{2}r_{4}+r_{1}r_{3}^{2}r_{4}+r_{2}r_{3}r_{4}^{2})(r_{1}r_{4}+r_{2}r_{3})\\=\ &r_{1}^{3}r_{2}r_{3}r_{4}+r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{4}^{2}+r_{1}^{2}r_{3}^{2}r_{4}^{2}+r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}^{3}+r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}+r_{1}r_{2}^{3}r_{3}r_{4}+r_{1}r_{2}r_{3}^{3}r_{4}+r_{2}^{2}r_{3}^{2}r_{4}^{2}\\=\ &r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}(r_{1}^{2}+r_{2}^{2}+r_{3}^{2}+r_{4}^{2})+r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}^{2}+r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{4}^{2}+r_{1}^{2}r_{3}^{2}r_{4}^{2}+r_{2}^{2}r_{3}^{2}r_{4}^{2}\\=\ &D(A^{2}-2B)+C^{2}-2(r_{1}^{2}r_{2}^{2}r_{3}r_{4}+r_{1}^{2}r_{2}r_{3}^{2}r_{4}+r_{1}r_{2}^{2}r_{3}^{2}r_{4}+r_{1}^{2}r_{2}r_{3}r_{4}^{2}+r_{1}r_{2}^{2}r_{3}r_{4}^{2}+r_{1}r_{2}r_{3}^{2}r_{4}^{2})\\=\ &A^{2}D-4BD+C^{2}\end{aligned}}

Détermination de $X$ , $Y$ et $Z$

$X$ , $Y$ et $Z$ sont les 3 racines de l'équation de degré 3 suivante :

x^{3}+A'x^{2}+B'x+C'=0

Se reporter à la résolution d'une équation de degré 3.

On affecte arbitrairement $X$ , $Y$ et $Z$ à l'une des 3 racines. Un choix différent revient juste à permuter le rôle de $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ et $r_{4}$ .

Détermination finale de $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ et $r_{4}$

Pour déterminer $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ et $r_{4}$ , il faut maintenant résoudre un système non linéaire à 4 inconnues :

\left\{{\begin{aligned}\ &(1)r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}=-A\\\ &(2)r_{1}r_{2}r_{3}+r_{1}r_{2}r_{4}+r_{1}r_{3}r_{4}+r_{2}r_{3}r_{4}=-C\\\ &(3)r_{1}r_{2}r_{3}r_{4}=-D\\\ &(4)r_{1}r_{2}+r_{3}r_{4}=X\\\ &(5)r_{1}r_{3}+r_{2}r_{4}=Y\\\ &(6)r_{1}r_{4}+r_{2}r_{3}=Z\end{aligned}}\right.

On pose :

P_{12}=r_{1}r_{2}

P_{34}=r_{3}r_{4}

S_{12}=r_{1}+r_{2}

S_{34}=r_{3}+r_{4}

Les 4 premières équations se traduisent par :

\left\{{\begin{aligned}\ &(1)S_{12}+S_{34}=-A\\\ &(2)P_{34}S_{12}+P_{12}S_{34}=-C\\\ &(3)P_{12}P_{34}=D\\\ &(4)P_{12}+P_{34}=X\end{aligned}}\right.

Connaissant leur somme $X$ (équation (3)) et leur produit $D$ (équation (4)), on tire $P_{12}$ et $P_{34}$ comme racines de l'équation de degré 2 :

x^{2}-Xx+D=0

On peut arbitrairement associer $P_{12}$ à une racine de cette équation et $P_{34}$ à l'autre racine de l'équation :

P_{12}=(X+{\sqrt {X^{2}-4D}})/2

P_{34}=(X-{\sqrt {X^{2}-4D}})/2

Le choix inverse reviendrait à permuter le rôle de $r_{1}$ , $r_{2}$ , $r_{3}$ et $r_{4}$

A condition que $P_{34}\neq P_{12}$ , des équations (1) et (2), on tire $S_{12}$ et $S_{34}$ comme solutions d'un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues :