On suppose ici que les 2 triplets de points distincts (, , ) d'une part, (, , ) d'autre part, sont disposés non sur deux droites distinctes (théorème de Pappus) mais sur un cercle de centre .
On ajoute comme condition que et sont sécantes (en ), ainsi que et (en ), et que et (en ).
Le théorème de Pascal déclare que , et sont alignés.
En voici une démonstration directe en géométrie affine, moyennant quelques conditions supplémentaires, à savoir que et sont sécantes en , et en et et en .
Les trois points ainsi définis sont alors distincts et non alignés et définissent le triangle (en bleu sur la figure).
La droite intersecte les trois côtés du triangle en , , .
La droite intersecte les trois côtés du triangle en , , .
La droite intersecte les trois côtés du triangle en , , .
D'après Ménélaüs, ces alignements se traduisent par les égalités suivantes :
(4)
(5)
(6)
En multipliant membre à membre ces six égalités, il reste après simplification :
ce qui prouve d'après la réciproque de Ménélaüs l'alignement des trois points , et .
Une démonstration analogue peut être faite, en modifiant les conditions supplémentaires, avec le triangle (en rouge sur la figure). Dans ce cas, les trois droites , et (en rouge sur la figure) échangent leur rôle avec les trois droites , et (en bleu sur la figure).
Résolution des équations algébriques par la méthode de Lagrange
Extrait de "Résolution des équations algébriques de degré 3 et 4" par A. Marrakchi (http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/les-mathematiques-de-galois/resolution-des-equations-algebriques-de-degre-3-et-4/) :
"Lagrange développe une réflexion générale sur la résolution des équations en étudiant comment se transforment certaines quantités exprimées en fonctions des racines d’un polynôme lorsqu’on permute ces racines."
...
"Lagrange fait la remarque suivante : lorsqu’on cherche à résoudre une équation dont les racines sont et que l’on forme une certaine quantité en fonction de ces racines alors est très facile à calculer en fonctions des coefficients de l’équation lorsque... est symétrique en les racines . Dans ce cas, lorsqu’on permute les racines entre elles, l’expression garde une valeur constante. Parallèlement, lorsque est très peu symétrique, par exemple lorsque , alors peut être très difficile à calculer. Cette fois, lorsqu’on permute les racines , peut potentiellement prendre de nombreuses valeurs différentes. Par exemple, pour , peut prendre les valeurs , , , , et .
Nous avons peu d’espoir d’arriver à calculer directement une quantité peu symétrique (typiquement lorsque est une racine) et calculer des quantités totalement symétriques est certes facile, mais ne fait pas vraiment avancer le problème. L’idée de Lagrange est d’essayer de former une quantité qui soit à la fois assez symétrique, dans l’espoir qu’elle ne prenne qu’un nombre petit de valeurs et donc qu’elle soit assez facilement calculable, et à la fois pas trop symétrique, dans l’espoir que les racines pourront être exprimées à partir de cette quantité. De telles quantités sont appelées des résolvantes de Lagrange."
L'équation admet 3 racines complexes , et qui vérifient :
Les racines cubiques de l'unité sont , et .
Introduisons la fonction suivante des 3 racines , et :
Introduisons une deuxième fonction correspondant à la transposition de et dans la définition de :
Si l'on considère les 6 permutations des 3 racines , et , ces 2 fonctions peuvent prendre 6 valeurs appartenant à un même ensemble de 6 éléments.
Un premier sous-ensemble de trois valeurs est obtenu par permutations circulaires dans la définition de :
Un deuxième sous-ensemble de trois valeurs est obtenu par permutations circulaires dans la définition de :
Au sein de ces 2 sous-ensembles, la fonction "cube" est invariante : et .
Ainsi, au sein de l'ensemble des 6 valeurs, la fonction "cube" prend 2 valeurs.
et sont des fonctions symétriques des racines , et : elles prennent toujours la même valeur, quelle que soit la permutation des racines.
On remarque aussi que et que .
La fonction est donc elle-aussi une fonction symétrique des racines.
On doit pouvoir les exprimer en fonction des coefficients de l'équation , et .
En effet :
Expression de en fonction des coefficients , et
En utilisant la relation liant les racines cubiques de l'unité , il vient :
Expression de en fonction des coefficients , et
En sommant ces deux égalités et en utilisant la relation liant les racines cubiques de l'unité , il vient :
avec :
Exprimons et en fonction des coefficients , et :
On en déduit que :
Détermination de et
Connaissant leur somme et leur produit , on trouve et en résolvant l'équation de degré 2 suivante :
On peut arbitrairement associer à une racine de cette équation et à l'autre racine de l'équation :
Le choix inverse reviendrait à inverser le rôle de et (cf. définition de et ).
Détermination de et
Les 3 racines cubiques de donnent , et .
On peut associer aribrairement à l'une des trois racines. Les deux autres choix reviendraient à permuter les rôles de , et (cf. définitions de , et ).
Pour déterminer les valeurs de , il n'est pas nécessaire de calculer les 3 racines cubiques de .
En effet, il suffit d'utiliser la relation démontrée plus haut : .
Ainsi .
Attention ! Traiter le cas particulier où .
Calcul final de , et
Pour déterminer , et , il faut maintenant résoudre un système linéaire de 3 équations à 3 inconnues :
L'équation admet 4 racines complexes , , et qui vérifient :
Introduisons la fonction suivante des 4 racines , , et :
Introduisons une deuxième fonction correspondant à la transposition de et dans la définition de :
Introduisons une troisième fonction correspondant à la transposition de et dans la définition de :
Si l'on considère les 24 permutations des 4 racines , , et , ces 3 fonctions peuvent prendre 3 valeurs appartenant à un même ensemble de 3 éléments.
Pour une permutation donnée, les fonctions , et prennent 3 valeurs distinctes.
Les fonctions suivantes:
,
,
sont donc des fonctions symétriques des racines , , et .
On doit pouvoir exprimer , et en fonction des coefficients de l'équation , , et .
En effet :
,
Détermination de , et
, et sont les 3 racines de l'équation de degré 3 suivante :
Se reporter à la résolution d'une équation de degré 3.
On affecte arbitrairement , et à l'une des 3 racines. Un choix différent revient juste à permuter le rôle de , , et .
Détermination finale de , , et
Pour déterminer , , et , il faut maintenant résoudre un système non linéaire à 4 inconnues :
On pose :
Les 4 premières équations se traduisent par :
Connaissant leur somme (équation (3)) et leur produit (équation (4)), on tire et comme racines de l'équation de degré 2 :
On peut arbitrairement associer à une racine de cette équation et à l'autre racine de l'équation :
Le choix inverse reviendrait à permuter le rôle de , , et
A condition que , des équations (1) et (2), on tire et comme solutions d'un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues :
Attention ! Traiter le cas particulier où . Cela implique que :
,
.
Connaissant leur somme et leur produit , on trouve et en résolvant l'équation de degré 2 suivante :
On peut arbitrairement associer à une racine de cette équation et à l'autre racine de l'équation :
Le choix inverse reviendrait à inverser le rôle de et .
De même, connaissant leur somme et leur produit , on trouve et en résolvant l'équation de degré 2 suivante :
On peut arbitrairement associer à une racine de cette équation et à l'autre racine de l'équation :
Le choix inverse reviendrait à inverser le rôle de et .