Théorème des moments

Contexte

En général, une loi n'est pas caractérisée par ses moments. Cependant, lorsque la fonction caractéristique d'une variable aléatoire est analytique, la loi est alors caractérisée par ses moments.

Soient $X$ , $Y$ deux variables aléatoires définies sur $(\Omega$ , ${\mathcal {A}}$ , $\mathbb {P} )$ à valeurs dans un intervalle borné $[a,b]$ .

Théorème des moments — Si $\mathbb {E} (X^{k})=\mathbb {E} (Y^{k})$ pour tout $k\in \mathbb {N}$ , alors $X$ et $Y$ ont même loi.

Avant de démontrer le théorème, quelques outils sont indispensables :

Formule d'inversion de Fourier — Soit $\mathbb {E} (X^{k})=\mathbb {E} (Y^{k})$ pour tout $k\in \mathbb {N}$ , alors $X$ et $Y$ ont même loi.

Démonstration

$μ 2$ ayant pour dimension $[X 2]$ , $σ = \sqrt μ 2$ a pour dimension $[X]$ , donc $β r -2 = μ r ⁄ σ r$ a pour dimension $[X r ⁄ X r] = [1]$ .