Utilisateur:BaumgartnerTobias/sandbox

Signal émis

$s(t)=\left\{{\begin{array}{cl}Ae^{i2\pi \left(f_{0}+{\frac {\Delta f}{2T}}t\right)t}&{\mbox{ si }}-T/2\leq t<T/2\\0&{\mbox{sinon}}\end{array}}\right.$

Lettre	Paramètre
$T$	Durée de l'impulsion
$f_{0}$	Fréquence centrée
$\Delta f$	Largueur de bande

Autocorrélation du signal $s$

$<s,s>(t)=\int _{-\infty }^{+\infty }s(t')s(t'+t)^{\star }dt'$

On montre que la fonction d'autocorrélation de $s$ vaut :

$<s,s>(t)=A^{2}\cdot T\cdot \Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)sinc\left(\Delta f\cdot t\cdot \Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right)\cdot e^{i2\pi f_{0}t}$

Avec

$\Lambda (t)=\left\{{\begin{array}{cl}1-\vert t\vert &{\mbox{ si }}-1\leq t<1\\0&{\mbox{sinon}}\end{array}}\right.$

et

$sinc(t)={\frac {sin(\pi \cdot t)}{\pi \cdot t}}$

Énergie du signal

Énergie du signal :

$E=<s,s>(0)=A^{2}\cdot T$

Filtrage

Filtrage adapté

Rapport signal sur bruit :

${\frac {S}{N}}={\frac {E}{N_{0}}}$

Avec la densité spectrale constante d'un bruit blanc:

$S_{B}(f)=N_{0}$

Filtrage non-adapté

Rapport signal sur bruit :

${\frac {S}{N}}={\frac {P(t_{e})}{N_{0}\cdot B_{eq}}}={\frac {A^{2}}{N_{0}\cdot B_{eq}}}$

avec la puissance $P(t)=\vert s(t)\vert ^{2}$ du signal au moment échantillonnage $t_{e}$ et la bande équivalente de bruit $B_{eq}$ du filtre. Pour un filtre passe bas/bande d'une bande totale de $B_{f}$, $B_{eq}=B_{f}$. (Ici, on ne considère que des signaux complexe. Par conséquence, un filtre passe bande n'est pas symétrique par rapport au spectre. Donc, $B_{f}=f_{max}-f_{min}$ où $f_{max}$ et $f_{min}$ peuvent être des fréquences négatives.)

Cas particuliers

Type d'impulsion	$T$	$f_{0}$	$\Delta f$	Signal ($-T/2\leq t<T/2$)	Autocorrelation ($-T\leq t<T$)	SNR (filtrage par un filtre passe bas/bande)	SNR (filtrage adapté)
Impulsion simple	$\neq 0$	$=0$	$=0$	$s(t)=A$	$A^{2}\cdot T\cdot \Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)$	${\frac {S}{N}}\lessapprox {\frac {A^{2}}{N_{0}\cdot {\frac {1}{T}}}}={\frac {E}{N_{0}}}$ Selon le Théorème d'échantillonnage, il faut au moins une bande de ${\frac {1}{T}}$ pour représenter un signal d'une période de $T$. En appliquant un filtre passe bas d'une bande totale de ${\frac {1}{T}}$, on capte $\sim 77\%$ d'énergie du signal. Avec une bande de ${\frac {2}{T}}$, on capte déjà $\sim 90\%$ de l'énergie. On peut donc approximer le SNR par ${\frac {S}{N}}\approx {\frac {E}{N_{0}\cdot 2}}$.	${\frac {S}{N}}={\frac {E}{N_{0}}}$
Impulsion modulé	$\neq 0$	$\neq 0$	$=0$	$s(t)=Ae^{i2\pi f_{0}t}$	$A^{2}\cdot T\cdot \Lambda \left({\frac {t}{T}}\right).e^{i2\pi f_{0}t}$	${\frac {S}{N}}\lessapprox {\frac {A^{2}}{N_{0}\cdot {\frac {1}{T}}}}={\frac {E}{N_{0}}}$Même raisonnement que pour l'impulsion simple. Mais, on utilise un filtre passe bande au lieu d'un filtre passe bas. Donc : ${\frac {S}{N}}\approx {\frac {E}{N_{0}\cdot 2}}$	${\frac {S}{N}}={\frac {E}{N_{0}}}$
Chirp en bande de base	$\neq 0$	$=0$	$\neq 0$	$s(t)=Ae^{i2\pi {\frac {\Delta f}{2T}}t^{2}}$	$A^{2}\cdot T\cdot \Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)sinc\left(\Delta f\cdot t\cdot \Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right)$	${\frac {S}{N}}\approx {\frac {A^{2}}{N_{0}\cdot \Delta f}}={\frac {E}{N_{0}\cdot \Delta f\cdot T}}$ La bande du signal est $\sim \Delta f$, car $\Delta f\gg {\frac {1}{T}}$. Il suffit donc de filtrer le signal avec un passe bas d'une bande totale de $\Delta f$.	${\frac {S}{N}}={\frac {E}{N_{0}}}$
Chirp	$\neq 0$	$\neq 0$	$\neq 0$	$s(t)=Ae^{i2\pi \left(f_{0}+{\frac {\Delta f}{2T}}.t\right)t}$	$A^{2}\cdot T\cdot \Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)sinc\left(\Delta f\cdot t\cdot \Lambda \left({\frac {t}{T}}\right)\right)\cdot e^{i2\pi f_{0}t}$	${\frac {S}{N}}\approx {\frac {A^{2}}{N_{0}\cdot \Delta f}}={\frac {E}{N_{0}\cdot \Delta f\cdot T}}$ Même raisonnement que pour le chirp. Mais, on utilise un filtre passe bande au lieu d'un filtre passe bas.	${\frac {S}{N}}={\frac {E}{N_{0}}}$

Comparaison des SNR

	Filtrage adapté
$\Delta f$	non	oui
impulsion simple/modulée $=0$	$\approx {\frac {1}{2}}SNR_{max}$	$SNR_{max}$	Le filtrage adapté d'une impulsion simple/modulée améliore le SNR, mais ne pas beaucoup plus qu'un facteur $2$.
chrip $\Delta f\gg {\frac {1}{T}}$	${\frac {1}{\Delta f\cdot T}}SNR_{max}$	$SNR_{max}$	Le filtrage adapté d'un chirp améliore le SNR d'un facteur $\Delta f\cdot T$ par rapport à un chirp sans filtre adapté. Mais, par rapport à une impulsion simple/modulée sans filtre adapté, on ne gagne pas plus qu'avec une impulsion simple/modulée avec filtre adapté.
	→ Un chirp sans filtrage adapté dégrade le SNR par un facteur de l'ordre ${\frac {\Delta f\cdot T}{2}}$ par rapport à une impulsion simple/modulée.	→ Un chirp n’améliore pas le SNR par rapport à une impulsion simple/modulée. Le SNR avec le filtrage adapté n'est dépend pas du forme du signal, mais de son énergie.

Amélioration du SNR par compression d'impulsion

Dans le cas du filtrage adapté, la seule façon d'améliorer le SNR est d'augmenter l'énergie du signal (Supposons qu'on ne puisse pas changer le bruit.). Si le système est limité par une puissance maximale, il faut augmenter la durée d’émission $T$. Pour une impulsion simple/modulée, cela entraine une perte de résolution, car $\Delta r={\frac {c\cdot \Delta t}{2}}={\frac {c\cdot T}{2}}$ avec la vitesse de propagation $c$. En revanche, la résolution d'un chirp, étant $\Delta r={\frac {c\cdot \Delta t}{2}}={\frac {c}{2\cdot \Delta f}}$ , ne dépende pas de $T$. ($\Delta t$ est déterminer par le temps entre le maximum et la première zéro de la fonction d'autocorrélation → critère pour la distinction de deux cibles). Alors, on peut augmenter $T$ sans dégrader la résolution.

En augmentant le temps d'émission de $T_{court}$à $T_{long}$, le SNR est amélioré par un facteur ${\frac {T_{long}}{T_{court}}}$.