Utilisateur:Apach/Transformée en ondelettes

En mathématiques, la transformée en ondelettes d'une fonction est l'ensemble de ses produits scalaires avec une famille de translatées et dilatées d'une fonction de référence, l'ondelette mère.

Définitions et propriétés fondamentales

Soit $\psi$ une fonction de $L^{2}(\mathbb {R} )$ (à valeurs réelles ou complexes). Étant donnés un paramètre d'échelle $a$ réel strictement positif et un paramètre réel de translation $b$, on définit :

$\psi _{a,b}:={1 \over {\sqrt {a}}}\psi ({{t-b} \over {a}})$

${\tilde {f}}(a,b):=\int _{-\infty }^{\infty }\psi _{a,b}(t)f(t)dt=<f\mid \psi _{a,b}>$

Une transformée en ondelettes est définie par la donnée de $\psi$ et d'un ensemble $\Lambda \subset \mathbb {R_{*}^{+}} \times \mathbb {R}$ où varient $a$ et $b$.

Chaque coefficient d'ondelette ${\tilde {f}}(a,b)$ apporte des informations sur le comportement de $f$ au voisinage du point $b$ et à l'échelle $a$. Cependant, la nature précise de ces informations dépend de l'ondelette mère choisie, dont le choix ne doit donc en aucun cas être arbitraire. Les deux propriétés les plus importantes sont :

• la rapidité de la décroissance de $\psi$ (localisation temporelle), qui assure que ${\tilde {f}}(a,b)$ concerne bien le voisinage immédiat du point b
• la rapidité de la décroissance de ${\hat {\psi }}$, qui assure que ${\tilde {f}}(a,b)$ concerne bien le voisinage immédiat de l'échelle $a$ (localisation fréquentielle). Cette propriété est liée d'une part à la régularité de $\psi$, et d'autre part au nombre de ses moments nuls.

La réalisation simultanée de ces deux propriétés est limitée par l'inégalité de Heisenberg.

Les principaux types de transformées en ondelettes, ainsi que leurs généralisations à des fonctions de plusieurs variables, sont répertoriés ci-après.

Transformée en ondelettes continue

${\tilde {f}}$ vue comme fonction sur $\mathbb {R_{*}^{+}} \times \mathbb {R}$ s'appelle transformée en ondelettes continue de $f$ par l'ondelette mère $\psi$, car les paramètres $a$ et $b$ varient continûment (et non parce que ${\tilde {f}}$ est nécessairement une fonction continue). La reconstruction de $f$ à partir de sa transformée en ondelettes n'est possible que si $\psi$ vérifie la condition d'admissibilité suivante :

$C_{\psi }:=\int _{0}^{\infty }\vert {\hat {\psi }}(\nu )\vert ^{2}{{d\nu } \over {\nu }}$

auquel cas on a :

$f(t)={1 \over {C_{\psi }}}\int _{0}^{\infty }{{da} \over {a^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }db{\tilde {f}}(a,b)\psi _{a,b}(t)$

Si $\psi$ est intégrable (ie $\psi \in {L^{1}}\cap {L^{2}}$), la condition d'admissibilité impose qu'elle soit de moyenne nulle, et donc oscillante (d'où l'appellation ondelette).

Transformée en ondelettes sur une grille discrète

L'information fournie par ${\tilde {f}}$ est redondante, car les coe�fficients d'ondelettes voisins ne sont pas indépendants. Cette redondance de la transformée en ondelettes continue est un handicap pour les applications à la compression de signaux ou d'images, mais aussi pour tout type de manipulation qu'on souhaiterait faire subir aux coe�fficients. C'est pourquoi on cherche à la réduire ou à l'éliminer en limitant l'ensemble d'indices $\Lambda$ à une grille discrète, qui doit cependant contenir suffisamment de points pour pouvoir reconstruire complètement $f$. Un cas particulier très important est obtenu lorsque $\{\psi _{a,b}\mid (a,b)\in \Lambda \}$ constitue une base orthonormale de $L^{2}(\mathbb {R} )$ (paragraphe suivant).

Transformée en ondelettes orthogonale

grille dyadique

$\Lambda =\{(2^{-j},2^{-j}k)\mid {(j,k)}\in \mathbb {Z} ^{2}\}$

Transformée en ondelettes rapide

Analyse multirésolution

Applications en analyse fonctionnelle

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