Utilisateur:Alexandre alexandre/Brouillon9

Actuellement, l'algèbre désigne, en un sens large, la branche des mathématiques qui étudient les objets non pas suivant leur nature mais suivant les liens qu'ils ont avec d'autres. A l'intérieur d'un même ensemble on peut par exemple ordonner les éléments, comme dans N, ou les additionner et multplier, comme dans Z, ou simplement les composer, comme dans l'ensemble des permutations S(E) d'un ensemble. Il se trouve que N, Z ou S(E) ne sont pas les seuls à vérifier ce genre de proriétés. On axoiomatise alors le fait, pour un ensemble, d'être muni de tel ou tel lien et on parle alors de telle ou telle structure algébrique (ensemble ordonné, anneau et groupe dans les exemples précédents). On étudie, indifférement de la nature de l'ensemble, les conséquences de tels liens qu'on peut donc appliquer à tout ensemble possédant la même structure algébrique (ainsi R est à la fois un groupe, un anneau et un ensemble ordonné, on dit même que c'est un corps ordonné auquel on peut appliquer les résulats adéquats). Par conséquent l'algèbre seule ne peut distunguer deux ensembles ayant les même propriétés algébriques (par exemple le groupe des racines nième dans C et celui des congruence modulo n), on dit qu'ils sont isomorphes et on s'interresse bien évidemment aux moyens de faire correspondre deux structures algébriques de même type, en respectant la structure sous-jacente : c'est la notion de morphisme à la base de la théories des catégories qui elle, n'étudie pas une structure en particulier, mais tente d'étudier toutes les structures à travers des propriétés communes (présence de noyaux, de conoyaux, de somme directes...) et des "morphismes" entre catégories (on parle alors de foncteur).

Le mot algèbre désigne aussi un type bien particulier de structure algébrique.

Mathématiques

Structure associée à un problème

Groupe de Galois, groupe fondamental, groupes d'homologies, algèbre de Lie, anneau des sections globales...