Utilisateur:Ɯ/Homologie de Khovanov
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L'Homologie de Khovanov, en mathématiques, est un outil qui permet de distinguer des nœuds et entrelacs orientés. Il s'agit d'un invariant topologique qui ne dépend pas de la configuration du nœud.
Elle s'appuye sur la construction d'objets algébriques qui correspondent aux résolutions des croisements.
Introduction
modifierL'invariant de Khovanov se calcule à partir d'un diagramme du nœud en question (c'est-à-dire une projection générique où les croisements - par-dessus ou par-dessous - sont connus). Chaque croisement peut être "résolu" en remplaçant sa vicinité comme indiqué sur la figure suivante:
On obtient alors résolutions ( étant le nombre de croisements), correspondant aux choix des résolutions.
Or, une résolution complète n'est autre qu'une somme disjointe de plongements d'1-sphères dans le plan. Les résolutions complètes voisines (égales à un croisement près) sont reliées par une surface, qui joue un rôle dans la compréhension intuitive aussi bien que dans la construction formelle qui suit.
Synopse
modifier| Élément | Polynôme "Crochet" de Kauffman[1] | Homologie de Khovanov |
|---|---|---|
| nœud trivial | ||
| somme | ||
| croisement |  =  
|
Détection du noeud trivial
modifierUne preuve, faisant appel à l'homologie de Floer, a été publiée en 2010 que l'Homologie de Khovanov réduite distingue le nœud trivial.
Notes et références
modifier- modifié, d'après Khovanov (2000) et Bar-Natan (2002)
- Mikhail Khovanov, A categorification of the Jones polynomial, Duke Mathematical Journal 101 (2000) 359–426. « math.QA/9908171 », texte en accès libre, sur arXiv..
- Dror Bar-Natan, On Khovanov's categorification of the Jones polynomial, Algebraic and Geometric Topology 2 (2002) 337–370. « math.QA/0201043 », texte en accès libre, sur arXiv..
- Louis H. Kauffman (1990), State models and the Jones polynomial, New Developments in the Theory of Knots, vol. 26, no 3, pp 395-107
- http://katlas.math.toronto.edu/wiki/Khovanov_Homology - un programme (Mathematica?) et une bibliographie extensive