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La théorie de Kirchhoff est une théorie de la diffraction qui permet, à l'aide du théorème de Green, de donner une formulation mathématique au principe de Huygens-Fresnel et de modéliser la propagation d'une onde à travers des ouvertures diffractantes. Elle a été introduite par le physicien Gustav Kirchhoff (1824-1887).

Sommaire

Théorème intégral de KirchhoffModifier

Quelle que soit la nature de l'onde, pour une perturbation sinusoïdale (harmonique ou monochromatique selon le domaine) représentée par le champ   qui est solution de l'équation d'onde, le théorème intégral de Kirchhoff[1] permet d'exprimer la valeur du champ   en un point   en fonction du champ   et de son gradient   sur une surface incluant le point   :

 .

Formule de diffraction de Fresnel-KirchhoffModifier

 
Notations utilisées.

La formule de diffraction de Fresnel-Kirchhoff[1] fournit l'expression de l'amplitude de la perturbation en un point   causée par une source ponctuelle en un point   émettant un rayonnement monochromatique isotrope, à la seule condition que la longueur d'onde soit négligeable devant les distances de propagation :

 ,

avec   nommé facteur d'oblicité ou facteur d'inclinaison.

Cas d'une ouverture diffractanteModifier

 
Notations utilisées.

On effectue l'intégration sur les surfaces :

  •   la calotte sphérique du faisceau qui pénètre par l'ouverture ; le champ scalaire y est identique en tout point,   et   y sont de même direction et de sens opposé ;
  •   sur les bords du faisceau, mais on considère son influence négligeable dès lors que la taille de l'ouverture est petite devant le rayon du front d'onde ;
  •   la partie non éclairée de l'obstacle ; le champ y est considéré nul ;
  •   une demi sphère de rayon tendant vers l'infini de sorte de le champ y soit nul (à la seule condition que son amplitude décroisse avec la distance).

Si   alors le facteur d'oblicité sur  , seule surface qui intervient dans le calcul, est :

 .

Ce facteur indique que la diffraction se fait préférentiellement dans les sens de la propagation, tout particulièrement il montre le non-retour de l'onde lors de la diffraction  .

Si l'onde incidente   est considérée identique sur toute la surface l'ouverture, caractérisée par son coefficient de transmission  , alors :

 .

Dans le cas de l'étude de la diffraction en champ lointain (diffraction de Fraunhofer), l'angle   est constant sur  , le facteur d'oblicité est donc constant et peut être sorti de l'intégrale. En posant  , on peut écrire :

 .

AnnexesModifier

BibliographieModifier

  • Eugène Hecht, Optique, Paris, Pearson Education France, , 4e éd. (ISBN 2-7440-7063-7)

Articles connexesModifier

Liens externesModifier

RéférencesModifier

  1. a et b Eugène Hecht 2005, p. 528