Théorème du point fixe de Markov-Kakutani

En mathématiques, le théorème du point fixe de Markov-Kakutani s'énonce comme suit :

Soient K un compact convexe non vide d'un espace vectoriel topologique séparé X et G un ensemble d'opérateurs affines continus sur X, qui commutent deux à deux et laissent K stable. Alors il existe dans K au moins un point fixe par tous les éléments de G.

Il a été démontré par Markov dans le cas où l'espace vectoriel est localement convexe et par Kakutani dans le cas général.

Démonstration

• Montrons d'abord, pour $f$ fixé dans G, que l'ensemble (compact convexe) de ses points fixes dans $K$ est non vide. Notons C le compact convexe $(\mathrm {id} -f)(K)$. Soit $x$ un élément de $K$. Pout tout entier $n>0$, l'élément$x_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}(\mathrm {id} -f)\left(f^{k}(x)\right)$appartient à C, or la suite des $x_{n}$ converge vers 0, puisque $K$ est borné et que$x_{n}={\frac {x}{n}}-{\frac {f^{n}(x)}{n}}.$Comme C est fermé, on en déduit qu'il contient 0, c'est-à-dire qu'il existe bien dans $K$ un point fixe par $f$.
• Du théorème quand G est un singleton (point précédent) on déduit facilement le théorème quand G est fini (par récurrence sur son cardinal).
• On en déduit le cas général grâce à la caractérisation en termes de fermés de la compacité de K.