Théorème de représentation de Skorokhod

théorème

En théorie des probabilités, le théorème de représentation de Skorokhod montre qu'une suite de variables aléatoires convergeant en loi peut toujours, en un certain sens, être représentée par une suite de variables aléatoires convergeant presque sûrement. Ce théorème porte le nom du mathématicien ukrainien A.V. Skorokhod.

Énoncé

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Illustration du théorème de représentation de Skorokhod

Soit   une suite de variables aléatoires à valeurs dans un espace topologique   de Lusin. Supposons que   converge en loi vers une variable aléatoire   à valeurs dans   quand  . Alors il existe un espace probabilisé   et des variables aléatoires  ,   définies sur cet espace probabilisé   telles que :

  • pour chaque entier  ,   et   ont même loi ;
  • les variables aléatoires   et   ont même loi ;
  •   converge  presque sûrement vers  .

Démonstration dans le cas réel

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Dans cette section, on suppose que   est la droite réelle. On note   la fonction de répartition de  , et on note   la fonction de répartition de  , et on considère les réciproques généralisées de   et  , définies, pour   dans  , par

 

De plus, on pose

 

L'idée est que la convergence de   vers   entraîne la convergence des réciproques généralisées correspondantes :

Lemme —   est au plus dénombrable.

Lemme — Pour  

 

On conclut en remarquant, à l'aide du théorème de la réciproque, que   et   ont même loi, mais aussi que   et   ont même loi.

Voir aussi

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Références

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