Théorème de Leibniz
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Le théorème de Leibniz en géométrie euclidienne s'énonce comme suit :
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Soient dans le plan euclidien deux points A et B. On considère le lieu des points M tels que a AM2 + b BM2 = cste. Soit G le barycentre de (A, a) et (B, b). Alors le lieu, s'il est non vide, est un cercle de centre G.
Démonstration modifier
On développe l'équation en introduisant G.
L'égalité se réduit donc à (a+b)GM2 = cste, qui doit être positive.
Remarque : si a + b = 0, G est en quelque sorte rejeté à l'infini : le lieu est alors une droite du plan orthogonale à AB.
Le théorème se généralise aisément à un n-uplet de points.
Rapport avec l'analysis situs modifier
Leibniz, dans sa Caractéristique géométrique, représente l'écriture du cercle de la manière suivante : ABC γ ABY qui peut se lire « ABC pareil que ABY ». Autrement dit, étant donnés trois points fixes de l'espace A, B, et C, quelle forme décrit l'ensemble des points Y qui gardent la même relation que C a avec A et B ? On peut traduire encore de cette manière : AC γ AY et BC γ BY (la relation de C à A est la même que de Y à A et la relation de C à B est la même que de Y à B — distances égales).
