Théorème de König-Huygens

En statistiques et en théorie des probabilités, le théorème de König-Huygens est une identité remarquable reliant la variance et la moyenne.

Énoncé en probabilitésModifier

Le théorème de König-Huygens énonce de la façon suivante :

Théorème — Pour toute variable aléatoire réelle X qui admet un moment d'ordre 2, on a :

 .

Énoncé en statistiquesModifier

Ce théorème peut également s'appliquer pour une décomposition de la formule de la variance empirique.

Théorème — On a :  

GénéralisationModifier

Cette formulation est en fait un cas particulier d'une identité plus générale.

Identité — On a :  

Remarque :

En passant le deuxième terme de droite à gauche et en prenant a = 0 on retrouve la formule de la variance montrée plus haut :

 

Et donc si a = 0,  

Relation avec la fonction de LeibnizModifier

Ce théorème est un cas particulier de simplification de la fonction scalaire de Leibniz concernant des barycentres.

En effet, la moyenne m est le barycentre du système pondéré  . La simplification de la fonction scalaire de Leibniz donne pour le système   de barycentre G :

 

En remplaçant G par m, A par m', ai par ni et Ai par xi, on obtient

 

Ce qui est, à un facteur n près et à l'ordre près, la formule précédente.

Énoncé en mécanique (Théorème d'Huygens)Modifier

Soit un système de k points matériels Ai, de masses respectives mi, de masse totale M , de centre de masse G et un point A distant de d du point G. Le théorème de transport ou théorème de Huygens ou théorème de Steiner donne JA le moment d'inertie du système par rapport à A en fonction de JG le moment d'inertie du système par rapport à   :

 

avec

 

RéférenceModifier

(en) Alexander M. Mood, Franklin A. Graybill et Duane C. Boes, Introduction to the Theory of Statistics, New Delhi, Tata McGraw-Hill, (ISBN 978-0-07-042864-5, LCCN 73000292), p. 564