Théorème de de Gua

En mathématiques, le théorème de de Gua est une extension du théorème de Pythagore à la géométrie dans l'espace. Il a été énoncé par René Descartes et Johann Faulhaber dès 1622. Jean-Paul de Gua de Malves le démontre en 1783 en utilisant les formules de Héron d'Alexandrie.

Tétraèdre trirectangle en O.

Énoncé

Soit OABC un tétraèdre trirectangle en O.

Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

${\mathcal {A}}_{ABC}^{2}={\mathcal {A}}_{\color {blue}ABO}^{2}+{\mathcal {A}}_{\color {green}ACO}^{2}+{\mathcal {A}}_{\color {red}BCO}^{2}$

Démonstration

Notons a, b, c les longueurs respectives des arêtes OA, OB, OC.

Considérons le volume intérieur découpé par le tétraèdre, il est égal à abc/6 = c/3${\mathcal {A}}_{\color {blue}ABO}$ = b/3${\mathcal {A}}_{\color {green}ACO}$ = a/3${\mathcal {A}}_{\color {red}BCO}$ mais aussi à h/3${\mathcal {A}}_{ABC}$ où h désigne la hauteur associée à la face ABC.

Comme le vecteur ${\overrightarrow {n}}=(bc)^{2}{\overrightarrow {OA}}+(ac)^{2}{\overrightarrow {OB}}+(ab)^{2}{\overrightarrow {OC}}$ est normal au plan (ABC), cette hauteur vaut $h={\langle {\overrightarrow {OA}}\mid {\overrightarrow {n}}\rangle \over \|{\overrightarrow {n}}\|}$

On a donc, en égalant les volumes : ${\frac {abc}{6}}={\frac {1}{3}}{\frac {abc}{\sqrt {(bc)^{2}+(ac)^{2}+(ab)^{2}}}}{\mathcal {A}}_{ABC}$. Soit en simplifiant $4{\mathcal {A}}_{ABC}^{2}=(ab)^{2}+(bc)^{2}+(ac)^{2}$ ; la formule demandée.

Extension

La formule s'étend aux dimensions supérieures, ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes dès 1619-1623.