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Tétraèdre trirectangle en O.

En mathématiques, le théorème de De Gua est une extension du théorème de Pythagore à la géométrie dans l'espace. Il a été énoncé par René Descartes et Johann Faulhaber dès 1622. De Gua le démontre en 1783 en utilisant les formules de Heron d'Alexandrie[1].

Sommaire

ÉnoncéModifier

Soit O,A,B,C un tétraèdre tri-rectangle en O.

Le carré de l'aire de la face ABC est la somme des carrés des aires des trois autres faces.

 

DémonstrationModifier

Notons a,b,c les longueurs respectives des arêtes OA,OB,OC

Considérons le volume intérieur découpé par le tétraèdre, il est égal à abc/6=c/3 =b/3 =a/3  mais aussi à h/3  où h désigne la hauteur associée à la face ABC.

Comme le vecteur   est normal au plan ABC, cette hauteur vaut  

On a donc, en égalant les volumes :  . Soit en simplifiant   ; la formule demandée.

ExtensionModifier

La formule s'étend aux dimensions supérieures, ce que remarque Descartes pour la dimension 4, dans ses notes[2] dès 1619/1623.

Une démonstration de ce cas général se trouve dans le numéro 6 de l'American Monthly 2006[3].

RéférencesModifier

  1. Histoire de l'Académie royale des sciences, , 374 et suivantes. p. (lire en ligne).
  2. Adam et Tannery, Œuvres complètes de Descartes (lire en ligne), p. 256 et suivantes.
  3. (en) Quadrat, « Pythagoras' theorem for areas. », American Monthly,‎ (lire en ligne).