Théorème de Gelfond-Schneider

En mathématiques, le théorème de Gelfond-Schneider, démontré indépendamment et presque simultanément en 1934 par Aleksandr Gelfond et Theodor Schneider[1],[2], s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Si α est un nombre algébrique différent de 0 et de 1 et si β est un nombre algébrique irrationnel alors αβ est transcendant.

« Le » nombre αβ est à prendre ici au sens : exp(β log(α)), où log(α) est n'importe quelle détermination du logarithme complexe de α.

Le théorème de Gelfond-Schneider résout le septième problème de Hilbert et permet de construire de multiples exemples de nombres transcendants.

Exemples d'applications

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L'application directe du théorème fournit des nombres transcendants comme 22 (la constante de Gelfond-Schneider), 22, ou encore eπγ pour tout nombre réel algébrique non nul γ (en posant α = e = –1 et β = –iγ), par exemple eπ = (–1)–i (la constante de Gelfond) ou e–π/2 = ii.

Mais par contraposée, on en déduit aussi :

Si β est un nombre irrationnel tel qu'il existe un nombre algébrique α différent de 0 et de 1 pour lequel αβ soit algébrique, alors β est transcendant.

Ainsi, l'irrationnel ln 3 / ln 2 est transcendant (en utilisant α = 2).

Références

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  1. A. O. Gelfond, « Sur le septième Problème de D. Hilbert », Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII (en), no 4,‎ , p. 623-630 (lire en ligne).
  2. (de) T. Schneider, « Transzendenzuntersuchungen periodischer Funktionen. I. Transzendend von Potenzen », J. Reine Angew. Math., vol. 172,‎ , p. 65-69 (DOI 10.1515/crll.1935.172.65).

Voir aussi

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Articles connexes

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Bibliographie

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  • Julien Haristoy et Édouard Oudet, « Autour du septième problème de Hilbert : une excursion en transcendance », L'Ouvert (revue de l'IREM de Strasbourg et de l'APMEP d'Alsace), vol. 107,‎ , p. 39-54 (lire en ligne)
  • (ru) R. Kuzĭmin, « Об одном новом классе трансцендентных чисел » [« Sur une nouvelle classe de nombres transcendants »], Izv. Akad. Nauk SSSR, ser. VII, no 6,‎ , p. 585-597 (lire en ligne) (cas où β est un irrationnel quadratique)
  • Michel Waldschmidt, « Initiation aux nombres transcendants », L'Enseignement mathématique, vol. 20,‎ , p. 53-85 (lire en ligne)