Théorème de Charkovski

Le théorème de Charkovski, démontré par Oleksandr Charkovski (en), mathématicien ukrainien, est un théorème de mathématiques portant sur l'itération des fonctions continues. Il donne des contraintes sur la présence de points périodiques lorsqu'on itère la fonction f, c'est-à-dire de points x0 tels que la suite définie par récurrence par xn+1 = f(xn) correspondante soit périodique.

Ce théorème fait partie des premiers exemples remarquables de la théorie des systèmes dynamiques, introduisant la notion de chaos. Sa popularité est telle qu'il se retient souvent sous la forme d'un « slogan », correspondant à un énoncé simplifié :

3-cycle implique chaos

Il faut comprendre par là que toute fonction continue présentant un cycle de période 3 admet un cycle de période n pour tout entier n.

Forme générale du théorèmeModifier

Avant de l'exposer, nous devons d'abord définir l'ordre de Charkovski.

L'ordre de Charkovski est une relation d'ordre   définie sur les entiers strictement positifs de la façon suivante :

 

Autrement dit, on place d'abord les impairs à partir de 3 par ordre croissant, puis les impairs multipliés par 2, puis par 4, etc. (c.-à-d. qu'on range les entiers non puissances de 2 par ordre lexicographique en comparant en priorité leur 2-valuation) et l'on termine par les puissances de 2 par ordre décroissant.

Le théorème de Charkovski s'énonce alors comme suit :

Soit   une fonction continue sur un intervalle  , à valeurs dans  . Si   admet un point périodique de période  , alors pour tout   succédant à   dans l'ordre de Charkovski,   admet un point périodique de période   .

  est un point périodique de période   si    apparaît   fois, et où   est le plus petit entier vérifiant cette propriété. Ainsi, si   admet un point périodique de période 3, alors   admet des points périodiques de n'importe quelle période.

Ce théorème admet une réciproque : pour tout entier r > 0, on peut exhiber une fonction admettant des points de période r mais aucun point de période strictement inférieure à r pour l'ordre de Charkovski.

Voir aussiModifier

Lien externeModifier

RéférencesModifier

  • (en) B. S. Du, « A simple proof of Sharkovsky's theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 111,‎ , p. 595-599.
  • (en) B. S. Du, « A simple proof of Sharkovsky's theorem revisited », Amer. Math. Monthly, vol. 114,‎ , p. 152-155.
  • (en) S. Elaydi, « On a converse of Sharkovsky's theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 103,‎ , p. 386-392 (lire en ligne).
  • (en) T. Li et J. Yorke, « Period three implies chaos », Amer. Math. Monthly, vol. 82,‎ , p. 985-992.
  • (en) A. N. Sharkovsky, « Coexistence of cycles of a continuous map of a line into itself », International Journal of Bifurcation and Chaos, vol. 5,‎ , p. 1263-1273 (DOI 10.1142/S0218127495000934), traduction de l'article initial paru en russe dans Ukrain. Math. Zh., vol. 16, 1964, p. 61-71.