Coordonnées bipolaires

Les coordonnées bipolaires sont un système de coordonnées orthogonales.

Le système de coordonnées bipolaires

Définition modifier

En un point du plan de coordonnées bipolaires (τ , σ) correspond le point

 
 

Géométriquement la coordonnée σ d'un point P est l'amplitude (signée) de l'angle entre le segment joignant les foyers (-a, 0) et (a, 0) et le cercle passant par le foyer (-a, 0), le point P et le foyer (a, 0). La coordonnée τ est quant à elle le logarithme du rapport entre la distance au foyer (a, 0) et la distance au foyer (-a, 0).

Notation complexe modifier

On a la correspondance pour l'affixe complexe :

 


Transformation inverse modifier

Pour déterminer les coordonnées bipolaires (τ , σ) à partir des coordonnées cartésiennes (x , y), on a

 

et

 

On remarque aussi que

 

et que