Suite de Mian-Chowla

En théorie des nombres, la suite de Mian-Chowla est une suite d'entiers définie de manière récursive par l'algorithme glouton suivant : le terme courant est le plus petit entier tel que les sommes de deux termes quelconques précédant ou égal au terme courant sont toutes distinctes. La suite a été définie par les mathématiciens Abdul Majid Mian et Sarvadaman Chowla.

Les premiers termes de la suite de Mian-Chowla sont^[1] : 1, 2, 4, 8, 13, 21, 31, 45, 66, 81, 97, 123, 148, 182, 204, 252, 290, 361,...

Définition modifier

La suite commence par

a_{1}=1

,

puis pour tout $n>1$ , l'entier $a_{n}$ est le plus petit entier tel que les sommes

a_{i}+a_{j}

, pour

i,j\leq n

sont toutes distinctes.

Le terme qui suit $a_{1}=1$ est $a_{2}=2$ , car les sommes 1+1=2, 1+2=3 et 2+2=4 sont toutes distinctes. Le nombre $a_{3}$ ne peut être 3 car sinon il y aurait deux sommes de même valeur 1+3=2+2=4 ; mais $a_{3}$ vaut 4, car les sommes deux-à-deux sont toutes distinctes et prennent les valeurs égales à 2, 3, 4, 5, 6 et 8.

Propriétés modifier

Par sa définition, la suite de Mian-Chowla est une suite de Sidon infinie. La limite de la somme des inverses des entiers de la suite de Mian-Chowla, est encadrée par^[2] :

2,158452685\leq \sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{i}}}\leq 2,15846062

,

donc que la somme est proche de 2,1585. Rachel Lewis a observé que la somme des carré des inverses tend vers 1,33853369 et que la somme des cubes des inverses est proche de 1,14319352.

Variante modifier

Si l'on remplace le terme initial $a_{1}=1$ par $a_{1}=0$ , toutes les valeurs de la suite sont diminuées d'un unité, c'est-à-dire 0, 1, 3, 7, 12, 20, 30, 44, 65, 80, 96, ...

Notes et références modifier

↑ suite A005282 de l'OEIS
↑ Raffaele Salvia, « A New Lower Bound for the Distinct Distance Constant », Journal of Integer Sequences, vol. 18,‎ 2015, article n^o 15.4.8 (lire en ligne)

Bibliographie modifier

S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge, 2003, Section 2.20.2..

R. K. Guy,, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 1994, « B₂-Sequences », §E28, p. 228-229..

Abdul M. Mian et Sarvadaman D. Chowla, « On the B₂-sequences of Sidon », Proc. Nat. Acad. Sci. India,, vol. A14,‎ 1944, p. 3-4.

Articles liés modifier

Liens externes modifier

(en) Eric W. Weisstein, « Mian-Chowla Sequence », sur MathWorld
(en) « Mian-Chowla Sequence », sur PlanetMath
Nombres de Mian Chowla sur diconombre

[1] suite A005282 de l'OEIS

[2] Raffaele Salvia, « A New Lower Bound for the Distinct Distance Constant », Journal of Integer Sequences, vol. 18,‎ 2015, article n^o 15.4.8 (lire en ligne)

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