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IntroductionModifier

Mécanique classiqueModifier

En mécanique classique, les événements sont décrits par leur position à chaque instant. La trajectoire d'un objet dans l'espace tri-dimensionel est paramétrée par le temps. La vitesse classique est le taux de variation des coordonnées d'espace par rapport au temps et est tangente à sa trajectoire.

La trajectoire d'un objet dans un espace tridimensionnel est déterminée par une fonction vectorielle à trois composantes, , où chacune des composantes est fonction d'un temps absolu t:

 

  dénote les trois coordonnées spatiales de l'objet au temps t.

Les composantes de la vitesse classique   au point p sont:

 

où les dérivées sont prises au point p. En d'autres termes, elle est la différence entre deux positions   divisée par l'intervalle de temps les séparant  .

Théorie de la relativitéModifier

En théorie de la relativité, la trajectoire d'un objet dans l'espace-temps par rapport à un référentiel donné est définie par une fonction vectorielle à quatre composantes  , chacune d'entre elles dépendant d'un paramètre  , appelé temps propre de l'objet.

 

QuadrivitesseModifier

Définition de la quadrivitesseModifier

La quadrivitesse d'un objet est définie comme la tangente de sa ligne d'univers. Ainsi, un objet décrit par la ligne d'univers   aura une quadrivitesse définie comme :

 

Composantes de la quadri-vitesse en relativité restreinteModifier

De la dilatation du temps en relativité restreinte, on sait que    est le Facteur de Lorentz, défini comme   et u est la norme de la vitesse vectorielle classique   supposée constante dans le temps :  .

La relation entre la coordonnée temporelle   et le temps t est donnée par

 

En dérivant par rapport au temps propre  , on trouve[1]

 

En utilisant règle de dérivation en chaîne, pour  1, 2, 3, on trouve

 

où nous avons utilisé la définition de la vitesse classique

 

Ainsi, nous trouvons[2], pour la quadrivitesse  :

 

Vitesse propreModifier

Les trois composantes spatiales de la quadrivitesse définissent la vitesse propre d'un objet,  , soit le taux de variation des coordonnées d'espace par rapport au temps propre.

En relativité restreinte, on a  .

NormeModifier

La quadrivitesse étant un quadrivecteur, sa norme est un quadriscalaire, et donc invariante peu importe le choix de référentiel. Dans tous les référentiels, autant en relativité restreinte qu'en relativité générale, la norme de la quadrivitesse est

 

Ainsi, la norme de la quadrivitesse est toujours égale à la vitesse de la lumière. On peut donc considérer n'importe quel objet comme se déplaçant dans l'espace-temps à la vitesse de la lumière.

Cas d'un corps de masse nulleModifier

Une particule de masse nulle est dotée d'une vitesse (classique) égale à la vitesse de la lumière :   Dans ce cas la pseudo-norme de   est égale à  , constante indépendante du référentiel, c'est donc un quadrivecteur : les égalités établies pour un corps massif n'ont pas besoin de l'être pour un corps de masse nulle, et d'ailleurs ne le peuvent pas, le temps propre de ce corps étant nul ( ).

De manière générale, l'égalité   montre que tout paramètre   peut être choisi pour paramétrer la trajectoire du corps car la « vitesse »   ainsi obtenue a une pseudo-norme constante (nulle), et est donc un quadrivecteur :  .

Voir aussiModifier

RéférencesModifier

  1. Ce résultat s'obtient aussi en considérant l'intervalle d'espace-temps  
  2. James H. Smith, Introduction à la relativité, Paris, InterÉditions, , 317 p. (ISBN 2-225-82985-3)

Liens externesModifier